数学分析概念教学初探

招燕燕

【摘要】数学分析是信息与计算科学专业最重要的主干基础课程之一，为了提高数学分析的教学质量，概念的学习是关键.所以对数学分析中的概念的教法做初步的探讨，提出要重视概念的历史和引入、概念的描述、概念之间的联系、概念的正反举例和习题演练以及概念的教学方法的多样性，用以提高学生学习概念的兴趣，让学生学会精确的数学语言，培养学生的观察、抽象概括、逻辑表达、类比分析、逻辑推理、自学等能力.

【关键词】数学分析；概念；教学

在我们信息与计算科学专业的数学教育课程中，数学分析是最重要的主干基础课程之一.它不仅是信息专业学生进校后首先面临的一门重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段很多后继课程在本质上都可视为它的延伸、深化或应用，它的基本概念、思想和方法更可以说是无处不在，在培养具有良好数学素养和创新能力的数学及应用人才方面起着其他课程无可替代的作用，因此，提高数学分析教学质量具有非常重要的意义.

如何提高数学分析教学质量呢?概念的学习是数学学习中最基本的内容.概念既是数学分析的实体，又是数学思维的工具，一切判断、推理、证明都离不开概念.正确理解数学分析的概念是掌握数学分析基础知识的前提，概念不清就容易陷入迷茫，产生错误.因此，采用行之有效的概念教学方法，对提高教学质量至关重要.

本文就数学分析概念的教学谈一点看法.

1.重视概念的历史和引入：提高学生学习概念的兴趣，培养学生的观察能力和抽象概括能力

概念教学往往不如定理、公式等那样生动，处理不好，会显得呆板、生硬，不容易引起学生的兴趣.例如数列极限的定义，若直接给出数学语言描述——对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时，|a璶-a|<ε都成立,就称常数a是数列{a璶}的极限.这样学生们会不知所以然，只能死记硬背.但如果通过一个具体的实际问题（如割圆法求圆的面积：用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积.边数越多，多边形的面积也就越接近圆的面积，近似值也就越接近准确值.但怎样才能无限接近，怎样才能达到准确值呢?提出问题，诱导学生逐一观察，分析思索，然后从比较接近——很接近——越来越接近——要多么接近就有多么接近(无限趋近)，引导学生逐步地深入，从粗略描述到比较细致地刻画，直到对其本质属性进行科学的、完整的抽象概括与精确描述)，从中抽象出极限的定义，就很容易激发学生的兴趣，被学生接受.

2.重视概念的描述：学习描述概念的精确的数学语言，培养学生的逻辑表达能力

数学的本质在于用简单、精确的语言描述纷繁复杂的客观世界.学习数学，就要学习数学的语言.数学语言的抽象性、精确性、逻辑性直接表现在概念的定义之间.一个概念，区区几个字，可能代表了很多东西，其内涵丰富无比.在教学中表述概念要做到准确无误，教学语言要符合知识内容的逻辑顺序，引用概念时叙述要完整.而对学生要求要严格，每个概念及其矛盾概念必须能完整准确地叙述，即使一点小的问题，例如把“非负数”说成“正数”，都应及时纠正.还以数列极限为例：数列极限这几个字，就意味着ε-N语言——对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,|a璶-a|<ε都成立,就称常数a是数列{a璶}的极┫.这个说法意味着极限是一个动态的过程，在描述的过程中不能变动语句的顺序，如不能叙述成：存在正整数N,对于任意给定的正数ε,当n>N时,不等式|a璶-a|<ε都成立,就称常数a是数列{a璶}的极限.前后两种说法是不同的数学过程，只有前者能描述数列极限.

此外，还应加强用定义证明题目的训练，强化概念的精确描述.毕竟数学语言和日常口语有很大区别，让学生多做概念方面的习题，能让学生习惯于数学思维与数学语言，培养学生的逻辑表达能力.

3.重视概念之间的联系：培养学生类比分析、逻辑推理能力

例如，讨论单变量实函数极限，可以把它分成左右极限的问题，也就是把整体问题分成两个部分问题来讨论；考察多元函数的极限，也就是整体极限(重极限)的时候，不能把它分成有限个部分极限（方向极限或路径极限)来讨论.单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言趋于某点仅有两个方向，而对多变量却有无穷多个方向，而趋于某点的路径则更多.可见单变量实函数极限和多元函数极限虽然有相似的地方，区别却更明显.

再比如，在学了一元函数定积分以后，再学多重积分、线积分等概念时，发现它们虽然积分区域不一样，但是本质上是一样的，都是源于“分割、做积分和、求极限”的思想.

在教学过程中加强概念之间的内在联系，可以使学生对数学分析的整个体系有一个完整的了解，并且培养了学生类比分析、逻辑推理的能力.

4.重视概念的正反举例和习题演练：加深理解，认清概念的本质

恰当的正、反例是理解概念最好的帮手.例如，在理解数列极限的概念（ε-N语言）时，1[]n→0,即笑>0,令N≥1[]ε，则当n>N时，1[]n-0<ε.这里的N有无穷多个（对比定义中的存在性），ε强调的是想要多小（正数）就有多小（对比定义中的任意性）.而1不是1[]n的极限，因为当ε=1[]2时，对蠳,鰊>N，使得1[]n-1≥1[]2（只要n充分大，这个式子总是成立）.

不管学习的是概念还是计算方法、定理，大量的习题总是不可避免的.学数学不做习题是不可想象的事情.

5.重视概念的教学方法的多样性：培养学生的自学能力

（1）适当利用多媒体教学

例如，在讲解定积分的定义时，要写出定义中的“分割、作乘积、求和、取极限”全过程,若按传统教学手段，把定义写出，至少要占用一个黑板的篇幅，这样做非常费时，势必影响教学进度，减少课堂容量.若用多媒体教学，则这些工作可以课前做好，上课时只需逐行逐段放映出来，轻松明了.这样既不影响学生对概念的理解，也提高了教学效率.

又比如，在引入定积分的定义时，要用一些小矩形面积的和来逼近曲边梯形的面积或者是上面提到过的割圆法求圆的面积.这个时候，如果用多媒体动画演示这些逼近过程，可以让学生对这个极限过程有很形象的认识，对定义的理解也更深刻.

（2）学生自学

俗话说“授人以鱼，不如授人以渔”，在课堂上从教师这里获取知识只是增长知识的一个方面，而大量知识的获得，要靠自己读书，通过大量社会实践获得.因此，培养学生学会读书，善于思考，提高他们的自学能力，是相当重要的.数学分析的新旧概念之间存在着紧密联系.学生在学习了一个学期的数学分析后，对数学分析中的数学语言、叙述方法都比较熟悉，同时具有一定的读书能力.这个时候，对许多概念采用让学生阅读，然后提出问题让学生思考的办法，可以收到很好的效果.例如，在“多元函数积分”的教学中，因为学生已经掌握一元函数定积分、曲线积分等概念，我就把二重积分的概念部分交给学生阅读，然后提出下列问题：

①二重积分是如何引入的?

②二重积分和定积分、曲线积分之间有什么关系?

学生在看完了以后，到黑板上演示积分定义的过程：分割、求和、取极限，在演示的过程中发现了理解不透的地方，反过来更加深了对概念的理解.这样的方式收到了很好的效果.不但使学生提高了自学能力，对这部分内容掌握得也很好.通过学生自学能力的培养，对学生自己获取知识以及理解和掌握教师所讲授的知识都收到了很好的效果，对学生将来进一步学习更是大有益处.

曾经有名学生开玩笑地跟我说：“数学之美，犹如饮酒，在于将醉未醉之间——晕晕乎乎.”会晕晕乎乎的，肯定是概念没理解清楚，或者理解得不够深刻.如果我们能让学生把概念都弄清楚了，数学之美，应如饮清茶，唇齿留香，回味无穷.

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［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.

［2］樊守芳.数学分析概念教学初探.井冈山师范学院学报(自然科学)，2003，23（5）：85-87.