万变不离其宗,根源来自课本

李新莲

摘要： 在高中数学教学中，课本中出现的一些习题，把它们作为方法结论直接应用，对于解决一些比较复杂的问题有极大的帮助.本文结合一个课本结论，予以举例说明.

关键词： 课本结论运用技巧

人民教育出版社全日制普通高中教材第二册（上）第17页习题6.3第7题：若a，b∈R，x、y∈R，且a+b=1，则ax+by≥（ax+by）（*）（当且仅当x＝y时，取“＝”号）.

此题看似简单，常常被同学们所忽视，但它的条件和结论特征却非常明显，由此联想到带有条件“x+y=1”的最值和不等式问题，用（*）作“桥”求解，结果十分奏效，充分显示出课本习题（*）的应用价值.

例1. 已知x，y∈R，且x+y=1，求+的最小值.

分析：这是一道方法较多的题目，但用（*）思考，别有一番风味.

解析：由（*）得

+=x•（）+y•（）≥（x•+y•）=9

当且仅当=，即x=，y=时等号成立，

故（+）=9.

例2. 设a，b，x，y皆为正实数，且x+y=1，求证：+≥a+b.

分析：初看此题，似乎难以入手，但用（*）思考，即可从根号下部分打开突破口.

证明：由（*）得：

ax+by=xa+yb≥（xa+yb）

即≥xa+yb

同理可得≥ya+xb

两式相加，得

+≥（x+y）（a+b）=a+b.

例3. 已知a，b∈R，且a+b=1，求证+≥.

分析：此题与例2不同，条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显，似乎不能用（*）解答，但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件，可对左边根号下部分适当变形.

证明：由（*）得

a+1=5［a+（）］≥5（•a+×）=（a+2）

所以≥（a+2）

同理可得≥（b+2）

两式相加，得+≥.

也可将（*）推广为：若a，b，c∈R，x，y，z∈R，且a+b+c=1，则ax+by+cz≥（ax+by+cz）（**）（当且仅当x=y=z时，取“＝”号）.

例4. 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，求++的最小值.

解：由（**）得：

++=x•（）+y•（）+z•（）≥（x•+y•+z•）=36

当且仅当==，即x=，y=，z=时等号成立，

故（++）=36.