捆绑法和插空法的运用和联系

张会书

捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决“相邻问题”及“不邻问题”．总的解题原则是“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”．在实际教学过程中，我发现学生经常碰到这样的困惑，就同一类型的题目，表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的方法去解决它，从而降低了学习效率．下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解．

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略．

例１ 若有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五个人排队，要求Ａ和Ｂ两个人必须站在相邻位置，则有多少种排队方法？

解析 题目要求Ａ和Ｂ两个人必须排在一起，首先将Ａ和Ｂ两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“Ａ，Ｂ”，Ｃ，Ｄ，Ｅ“四个人”进行排列，有２４种排法．又因为捆绑在一起的Ａ，Ｂ两人也要排序，有２种排法．根据分步乘法原理，总的排法有４８种．

例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，外语书２本，其他学科书３本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？

解析 把３本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，２本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其他３本书一起看作５个元素，共有１２０种排法；又３本数学书有６种排法，２本外语书有２种排法．根据分步乘法原理共有排法１４４０种．

提示 运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．解题过程是“先捆绑，再排列”．

“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略．

例３ 若有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五个人排队，要求Ａ和Ｂ两个人必须不站在一起，则有多少种排队方法？

解析 题目要求Ａ和Ｂ两个人必须隔开．首先将Ｃ，Ｄ，Ｅ三个人排列，有６种排法；若排成ＤＣＥ，则Ｄ，Ｃ，Ｅ“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：〕 Ｄ〕 Ｃ〕 Ｅ〕，此时可将Ａ，Ｂ两人插到四个空位置中的任意两个位置，有１２种插法．由乘法原理，共有排队方法７２种．

例４ 在一张节目单中原有６个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去３个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

解析 直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插７个空位（原来的６个节目排好后，中间和两端共有７个空位），有７种方法；再用另一个节目去插８个空位，有８种方法；用最后一个节目去插９个空位，有９种方法．由乘法原理得：所有不同的添加方法为７ × ８ × ９ ＝ ５０４（种）．

例５ 一条马路上有编号为１，２，…，９的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

解析 若直接解答须分类讨论，情况较复杂．故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插７个空位，共有３５种方法，再重头编号，就对应要求的一种亮灯和灭灯的方式，因此所有不同的关灯方法有３５种．

练习 某校庆新春联欢活动，高三年级的８个班每一个班都准备了一个节目，且节目单已排好．节目开始前又增加了３个教师节目，其中两个独唱节目，一个朗诵节目．如果将这３个节目插入到原节目单中，要求教师节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且教师的两个独唱节目不连续演出，那么不同的排法有（〓〓）．

Ａ． ２９４种〓〓Ｂ． ３０８种〓〓Ｃ． ３７８种〓〓Ｄ． ３９２种

答案 Ｄ

提示 运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置“先排列，再插空”．