一个不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的引申和应用

陈孟算

笔者翻阅近几年各地高考试题及各地模拟卷，发现大多试卷压轴题涉及数列不等式，因为这类题目既需要证明不等式的基本思路和方法，又要结合数列本身的结构特点，有着较强的技巧，对学生的要求较高，具有较好的区分度。本文从一个简单不等式探讨这类问题。

一、一个结论

设x>1，则ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。

（*）

证明 构造函数g(x)=ln(1+x)-x，

则g′(x)=11+x-1=-x1+x，

且当-10时，g′(x)<0。

∴当x=0时，g(x)取得最大值，即g(x)≤g(0)=0。

故ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。

二、四个引申

引申1 已知n∈N+且n≥2，求证：lnn<1+12+13+…+1n-1。

证明 由（*）式，令x=1n，得

ln1+1n=lnn+1n<1n。

∴ln21+ln32+…+lnnn-1<1+12+…+1n，

即lnn<1+12+…+1n。

引申2 已知n∈N+且n≥2，求证：12+13+…+1n

证明 由（*）式，令x=-1n，得ln1-1n<-1n，

即1n

∴12+13+…+1n

即12+13+…+1n

引申3 已知n∈N+且n≥2，求证：ln22?ln33?…?lnnn<1n。

证明 由（*），令x=n-1，得lnn

两边除以n，得lnnn

∴ln22?ln33?…?lnnn<12×23×…×n-1n=1n。

引申4 已知n∈N+且n≥2，求证：1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn>32。

证明 由（*），令x=n2-1，得lnn2

即lnn2n2-1。

∴1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn

>222-1+232-1+242-1+…+2n2-1

=1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1

=32-1n-1n+1>32。

以上不等式的证明，都是以ln(1+x)≤x(x>-1)为背景，通过对其适当的赋值，合理的变形而得到。因此在学习中，要善于探究知识产生的源头和背景，善于用联系的观点思考问题，举一反三，提高解题能力和学习效率。

三、两个应用

例1 （2009年稽阳联谊学校高三联考）已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2+x。

（1）当a=12时，求函数g(x)的单调区间和极值；

（2）当f(x)在［-1，1］上是单调函数，求实数a的取值范围；

（3）若数列{an}满足a1=1且(n+1)an+1=nan，Sn为数列{an}的前n项和，求证：n≥2时，Sn<1+lnn。

解 （1）（2）略。

（3）由(n+1)an+1=nan，得an+1an=nn+1。

设a1=1,利用连乘法，得an=1n。

∴Sn=1+12+…+1n，利用引申2，得Sn<1+lnn。

例2 （湖南师大附中2010年第八次月考）已知f(x)=ln(1+x)-x，数列满足a1=12，ln2+lnan+1=an+1?an+f(an+1?an)。

（1）求证：数列1an-1是等差数列；

（2）证明不等式a1+a2+…+an

解 （1）略。

（2）由（1）知an=nn+1=1-1n+1，

∴a1+a2+…+an=1-12+1-13+…+1-1n+1

=n-12+13+…+1n+1。

由(*)式，令x=1n+1，得1n+1>lnn+2n+1。

∴12+13+…+1n+1>ln32+ln43+…+lnn+2n+1=lnn+22，

∴a1+a2+…+an

【参考文献】

陈世明。函数f(x)=1+1xx的两个基本性质及应用。中学数学，2009（9）。