真正奇妙的证明(Truly Marvelous Proof)之谜

沈逸轩 黄永茂

【摘要】用广义无穷递降法，用数学中数论、几何、代数方法的“技术上相互兼容”的特点和初等数学及数论17世纪初已有成果，建立五个引理，奇妙地证明了不定方程

xN+yN=zN。

(1)

当正整数N>2时，无正整数解。

【关键词】广义无穷递降法；单位圆；三角形的高；无理数；算术基本定理；代数基本定理;比例中项;韦达定理

现将费尔马大定理真正奇妙的证明，分三方面分述如下。

一、历史与广义无穷递降法

1992年获中国图书一等奖和最优秀十大畅销书之一的《中国少年儿童百科全书》（科学、技术卷）和北京景山学校编的《中学生百科知识日读》（知识出版社，1983）对费尔马大定理的“真正奇妙的证明”作了如下表述。

业余数学家之王——法国人费尔马(Fermat，1601—1665)大约在1637年在古希腊名著《算术》一书空白处记了两段笔记，提出方程(1)xN+yN=zN，当正整数N>2时无正整数解，当时费尔马在书页边还写道：“我已经找到这个命题的真正奇妙的证明，但是这里空白太小，写不下了。”1994年美国普林斯顿大学教授安德鲁?怀尔斯（Andrew Wiles）找到了(1)式无正整数解的另一种证明方法。但至今，“一直没有发现费尔马的证明，三百多年来，大批数学家，其中包括欧拉、高斯、阿贝尔、柯西等许多最杰出的数学家都试图加以证明，但都没有成功。”“于是留下数学难题中少有的千古之谜。”

据《谈勾股定理》一书（严以诚，孟广烈，北京出版社，1980）80页这样写道：“费尔马的证明是什么的，谁也不清楚。1850年及1853年，法国科学院曾两次悬赏征解，都没收到正确的答案；1908年，德国哥廷根科学院又向全世界征求解答，限期一百年。”发行量在全球很大且很受读者欢迎的《读者》期刊，在1996年7期11页的《数学家轶事》一文中，最后这样写道：“在数学上，‘费尔马大定理已成为一座比珠穆朗玛峰更高的山峰，人类的数学智慧只有一次达到这样的高度，从那以后，再也没有达到过。”

根据当时的数学水平——相当于现高中优秀学生水平，费尔马首创无穷递降法的思维方法——费尔马用首创无穷递降法证明了N=4费尔马大定理成立，且五次笔及用此法证明数学名题。但费尔马没有写出无穷递降法的定义。见到的名家定义也各不同。因此把中国孙子兵法兵势编对奇与无穷的观点引入，把比尔?盖茨（Bill Gates）在《未来之路》（北京大学出版社，1996：5，48-50）提倡的“正向螺旋”和“技术上相互兼容”的思维法则引入。把广义无穷递降法理解为：减少变量个数（包括减少变量变化范围）或降低方程的次数（当然包括同时利用上述两方面方法）后用变化无穷的数论、几何、代数互相兼容的数学技巧求原方程的解。以下据此广义无穷递降法思维，探索费尔马大定理的“真正奇妙的证明”。

二、真正奇妙的证明

费尔马的笔记是在正文讨论一个平方数表为有理数平方的书页中写出。据此思维，将方程(1)化为：

xzN+yzN=1。即：aN+bN=1。(2)

方程(1)有正整数解，则(2)式中a,b必均为正有理数，同理，方程(1)无正整数解，则方程(2)a,b必不可能同时为正有理数。当能证明(2)式中，在正整数N>2时，a,b不可能同时为正有理数，则费尔马大定理成功获证。方程(1)化为方程(2)，变量由4降3，由求正整数解变为求正有理数解，是求“真正奇妙的证明”首要一步。

为求“真正奇妙的证明”，建立五个引理。

引理1 要证费尔马大定理成立，只需证明当N=4时及N为奇素数时均成立，即已足够。且我们仅需证明N为奇素数情况即可。

证 引理1引于华罗庚(1910—1985)著《数论导引》318页(科学出版社，1979年11月版)。陈景润(1933—1996)著《初等数论(1)》(科学出版社，1978年12月版)67-68页给出中学生能看懂的严密证明。北京景山学校编的《中学生百科知识日读》(下)(知识出版社，1983年)440-441页介绍了费尔马大定理简要全面情况后对引理1正确性作了简要说明。对于N=4费尔马大定理成立，公认由费尔马先证出。故我们仅需证明N为奇素数情况，引理1证毕。

引理2 当奇正整数(包括奇素数)N>2，且

352+452=1=aN+bN。

(3)

则(3)式中a，b不可能同时是正有理数。

证明 先说明(3)式来源，后用三个引理充分证明引理2的正确性。

据《十大数学家》一书132页（傅钟鹏，广西科技出版社，1997年9月2版），费尔马写在《算术》一书的笔记的原书正文是将16分成25625和14425，即表为（3-0）的过程：

42=1652+1252。

（3-0）

将（3-0）式两边除以42，并与（2）式进行比较，即可导出（3）式。

由（3）式，易导出：

352+452=aN22+bN22=1。

（4）

由（4）式，知35，45，aN2，bN2都是单位圆上的点，导出奇妙Rt△OAB,这是奇妙证明的第二个突破点。为证明引理2，建立引理3。

引理3 aNbN=h2，其中h是△OAB中底边OA上的高，OA=1。

证明 如图，由（4）式导出，其中OA=1，BC=h，BC⊥OA，AB=bN2，OB=aN2，AB⊥OB。△OAB面积可表为：

12aN2?bN2=12h?OA。

化简上式得：

aN?bN=(ab)N=h2。

（5）

引理3证毕。

为证明引理2，再建立引理4。

引理4 h2=［ab］N=X1-X21。

（6）

（6）式中，X1是Rt△OAB中AC的长度，即：X1=AC。

证明 据前面《谈勾股定理》一书32页，由直角三角形顶点所作的高h，是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，即：

h2=AC?CO=X1（1-AC）=X1-X21。

引理4证毕。（6）式是奇妙证明的第三个突破点。为证明引理2，再建立引理5。

引理5 （6）式中，当正整数N＞2是奇数，则（ab）不可能是有理数。

证明 由（6）式导出下列方程：

X21-X1+h2=(ab)N=0。

(6-1)

设X1是变量，h及ab是常数，则（6-1）式是变量X1的二次方程，二次项系数为整数1，一次项系数为-1，据代数基本定理一元二次方程有两个根，设为X2，X3，则据中学教科书上的韦达定理（Vieta，法国，1540—1603）必有：

X2+X3=-(-1)=1。

（7）

X2?X3=h2=(ab)N。

（8）

据（7）式由于1是有理数，故X2，X3在实数域只有两种组合，即：全是有理数或全是无理数。

由（6-1）式，据公元12世纪印度数学家婆什迦罗（1114—1185）的研究成果，一元二次方程有两个根，求根的公式运用到（6-1）式是：

记K=1-4h2。

（9-1）

X2=12+12k。

（9-2）

X3=12-12k。

（9-3）

据上述（7）～（8）的5个公式，证明a,b不可能同时是有理数，有三种证法。

（5－1）有重根时，a,b不可能同时是有理数证法之一。据（8）式，h指数是2，故（6-1）式必有重根。故证明a,b不能同时都是有理数的优化方法是：方程（6-1）有重根，则K=0，由（9-1）（9-2）及（9-3）式得：

X2?X3=h2=(ab)N=14。

（10）

由（10）式知，当正整数N＞2时，a,b不可能同时是有理数。

（5－2）（6－1）式有重根时a,b不可能同时是有理数证法之二。用反证法。据（8）式，设a,b同时是有理数，据欧几里得于公元前已证明的算术基本定理，有理数a,b用素（质）数标准表出后，表法唯一，由于正整数N＞2，（ab）N表示（6－1）式有N＞2个有理根。与代数基本定理一元二次方程只有两个根矛盾，故设a,b同时是有理数不成立，a,b不能同时是有理数。

（5－3）用（7）（8）和（9）的5个公式无法证明a,b同时是有理数。

引理5证毕。

由于引理1，2，3，4和5成立，故（2）（3）式中a,b不可能同时是有理数，故当正整数N＞2时，（1）式成立，费尔马大定理奇妙的证明证毕。

从上述证明过程知，得出“真正奇妙的证明”需走费尔马的思路，建立三个基本要素：将变量数下降，由(1)式化为(2)式变量由4个降为3个，将变量下降后的方程与二次方程对比分析，导出方程(3)和（4），作出奇妙Rt△OAB，从奇妙三角形导出（6）式。三个基本要素的巧妙运用，简称为广义无穷递降法。用比尔?盖茨在《未来之路》一书的提法是技术上互相兼容和“正向螺旋”因素激励的结果，就产生了“真正奇妙的证明”。奇在于只用费尔马时代的已有数学知识，妙在于三个基本要素的巧妙联合运用。奇还在于365年中世界上几代优秀数学家找不到这种思维方法。费尔马用了7～17年，安德鲁?怀尔斯用了30年才找到此方法。

本证明对进一步理解单位圆等十多个初等数学基本概念和互相联系运用的特性有帮助，是理解中学数学一批基本概念和联系运算的最好习题之一，是体验数学魅力的好教材之一。

三、三个对比和三个价值

1比个对比

据有关报道，美国普林斯顿大学教授安德鲁?怀尔斯经30年努力于1994年9月19日证明费尔马大定理成立，现将怀尔斯成果与本文成果，从下列三个方面对比如下。

（1）证法与费尔马“真正奇妙的证明”的比较。怀尔斯教授证明，用了20世纪日本数学家等新的科研成果为基础而得出。因此肯定不定费尔马当年的“真正奇妙的证明”。本文证法，使用的数学知识，费尔马时代已具备，与费尔马首创无穷递降法证明数学问题和笔记在《算术》书页思维方法极近似，因此，本证明有可能是费尔马当年所想所写的“真正奇妙的证明”。

（2）看懂证明成果人数比较。怀尔斯教授的证明，“世界上只有大约100个人可以看懂”。本证明，高中毕业生中有2%的人能看懂，全世界能看懂的人超亿人。

（3）论文长短比较。怀尔斯教授论文长140页，简化后也有100页，本文全部约5页。

2北境晒的三个价值

本成果的三个价值是：用广义无穷递降法解开了365年“真正奇妙的证明”之谜，且超亿人能看懂，丰富了初等数论和初等数学内容，对启发知识创新有很大参考价值。由于世界古今六大数学难题之一得到“真正奇妙的证明”有很大历史文化价值。再证明了20世纪最伟大的思想家和科学家爱因斯坦(Einstein,1879—1955)的一句名言的价值，（据景山学校编《中学生百科知识日读》645页：爱因斯坦认为“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”。）