00型未定式解题方法之我见

程卫红

【摘要】通过对常见类型的00型未定式求解方法的分析比较，提出了运用等价无穷小代换和洛必达法则这两种方法解题的个人见解，以求解决部分教材中存在的不足及学生运用这两种方法解题不够灵活等问题。

【关键词】00型未定式；等价无穷小代换；洛必达法则

极限计算是高等数学中的一个重要部分，未定式计算又是极限运算中的一个重要的内容。在未定式的计算中，00型未定式的计算占有较大的比例，其题型之多、解题方法之活，成为学生学习的一个难点。在我们常用的几种高等数学的教材里，都分别介绍了两种求解00型未定式的方法：等价无穷小代换和洛必达法则。由于等价无穷小代换是出现在第一章《函数与极限》，未定式概念和洛必达法则是出现在第三章《中值定理与导数的应用》，加上多数教材和教师在第三章介绍完洛必达法则后，对利用等价无穷小代换方法求00型未定式强调得不多，因而学生对如何利用这两种方法解题就没有引起重视，导致学生解题方法死板，遇到未定式计算就只想到洛必达法则，忽视了等价无穷小代换在计算中的作用，结果是一种方法用到底，使简单的问题复杂化。笔者认为，在讲完洛必达法则后再通过一些00型未定式的练习题目，让学生分析讨论这两种方法何时使用最恰当是很有必要的，利于学生灵活掌握这两种方法，使解题步骤简化，减少运算量。

下面根据常见的两种00型未定式题型，就解题方法谈谈自己的个人见解。

题型1 形如limf(x)-g(x)h(x)，limf(x)h(x)-k(x)的00型未定式，即极限的分子或分母是由两项之差的形式（或分子和分母都是两项之差的形式）。

解题方法 若f(x)-g(x)，h(x)-k(x)（或简单变形后）符合等价无穷小代换形式，就利用等价无穷小代换求解；若f(x)-g(x)，h(x)-k(x)不能进行等价无穷小代换，且求导后计算不复杂，就用洛必达法则求解；其他情形则需要两种方法混合使用。

比如，计算limx→01-cos2xxsinx，利用等价无穷小代换一次就可以轻松求出答案，若单独用洛必达法则计算，就需要用两次洛必达法则才能求解。计算limx→0cos2x-cos3xx2,limx→asin5x-sin5ax5-a5，若用等价无穷小代换求解，就必须先进行和差化积、因式分解后才能进行代换，若用洛必达法则计算就比较容易了。

题型2 形如limf(x)?g(x)h(x)，limfn(x)h(x)?k(x)的00型未定式，即极限的分子或分母（或分子和分母）是由两个（或多个）因子相乘的形式。

解题方法 要先将各因子进行等价代换，然后再考虑用洛必达法则，或两种方法混合使用，这样就可以减少运算步骤和运算量。因为作为乘积项，求导后项数会增加，通常情况下式子会变得更加复杂，这给后面的计算就带来了一定的麻烦。

另外还要注意，如果分子或分母中某个因子的极限是一个不为零的常数，在利用洛必达法则解题过程中可以将该因子极限求出，从而使运算更简捷，部分教师忽略了这一点。

下面我们来看某教材中的一个例题。

例 计算limx→0tan3xx-sinx。

解 limx→0tan3xx-sinx=limx→03tan2xsec2x1-cosx=limx→01sinx［6tanxsec2x?sec2x+6tan2x?tanxsec2x］=……=6。

本题是直接利用洛必达法则进行运算，也是多数教材及习题集所采用的方法。上述解题过程没有错误，但太过繁杂，原因就在多次用洛必达法则后式子变得更加复杂，增加了计算的难度和运算量。若将这两种方法混合使用，其步骤就简单明了，如下面的计算：

limx→0tan3xx-sinx=limx→0x3x-sinx=limx→03x21-cosx=limx→03x212x2=6。

形如limx→0sin(x)n(sinx)m（n，m为正整数）、limx→0sinx-tanx(31+x2-1)(1+sinx-1)的题目都是先进行等价无穷小代换，然后就可以轻松地进入下面的计算。考虑到篇幅问题不再举例说明。

除了上述解题方法外，我们还可以向学生介绍几种计算00型未定式时常用的方法。

1辈鹣罴扑

将形如limα(x)±β(x)γ(x)的式子拆成limα(x)γ(x)±limβ(x)γ(x)进行计算。使用拆项计算的原则是α(x)，β(x)均应是γ(x)的同阶无穷小或高阶无穷小，这样极限limα(x)γ(x)和limβ(x)γ(x)存在，其值为常数，否则是不能进行拆项计算的。运用极限的运算法则，不难推出拆项计算的正确性。