线性代数教学点滴

吴世玕

【摘要】本文总结了作者上线性代数课的一些经验，老师应该向学生讲清楚为什么必须学线性代数，要抓住核心内容和核心方法，要积累一些反例，要培养学生的团队合作精神，对优秀学生要进行特别培养，努力提高研究生升学率.

【关键词】线性代数;核心内容;核心方法;反例;团队合作

【中图分类号】G421

【文献标识码】A

引 言

线性代数是理工科本科生的必修课程，是研究生入学考试必考的数学科目之一.这门课成绩的好坏，直接影响到学生将来考研的成绩.从应用来看，工程计算上遇有太多变量时，时常将问题线性化，然后用线性代数方法处理问题，足见这门课的重要性.如何教好这门课，是值得我们每一位上课老师深思的问题.这门课有些概念，对于初学者来说，的确太抽象了，作为老师，该怎么教，才能让学生产生学习兴趣，才能自觉去钻研这门课？我想用这篇文章抛砖引玉，希望引起同行们的广泛讨论，共同提高教学水平.

1.为什么要学习线性代数

这个问题有必要向学生作些简要介绍.否则，由于这门课比较抽象，学生可能没兴趣学这门课.作为这门课程的老师，应该对此有些了解.

线性代数的计算方法是处理现代工程计算的重要方法，比如线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，在工程计算中，经常用到.有时工程上研究的问题相当复杂，用到成百上千的变量，这样复杂的问题，用矩阵来处理，是比较好的方法.线性代数已成为现代工程技术人员必修的课程之一.

线性拟合和非线性拟合是数据处理常用的方法，以往由于计算手段的限制,非线性拟合几乎无法实现.因此,传统的数据处理方法中非线性问题线性化计算是一种基本手段.目前,尽管计算机数据处理已经很普遍,但由于习惯于传统的方法,或是由于非线性拟合过程常遇到不收敛等问题,非线性问题线性化计算这一传统的数据处理方法仍在广泛使用.作为线性代数的主要软件工具有MATLAB，它是矩阵计算的主要工具.

从数学上来讲，很多非线性化问题可以通过一些数学变换化成线性问题.比如一些非线性回归问题就可以通过变量的倒代换对数变换等化成线性回归问题.我们也可以利用泰勒公式，将一个复杂函数化成近似的多项式，再将多项式转化为线性方程（这只要将各个幂函数当作一个新变量就可以）.

2.抓住核心内容和核心方法

工科线性代数，课时比较少，我们学校只有32学时.在这么短时间内，要教好或学好这门课程，老师要下些工夫，学生也要有足够的学习兴趣和精力的投入.若老师抓不住核心内容和核心方法，就很难教好这门课.线性代数课，一般包括行列式、向量、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间.由于课时少，我们实在是没时间讲解线性空间的内容，只能讲解向量空间一些基本概念，并在线性方程组中讲解向量空间时加以应用.

线性代数课程的核心内容是线性方程组，核心方法是矩阵的初等变换方法.行列式、克莱姆法则、向量、矩阵都围绕着线性方程组展开.克莱姆法则，解决了当系数矩阵是方阵时，何时有唯一解，并用行列式给出了解的表达式，在线性方程组理论中有重要价值.向量模型为线性方程组解决了解空间模型的问题，认为线性方程组的解是向量空间中的向量，可以定义解向量之间的线性运算.矩阵运算为线性方程组的求解提供了行初等变换方法，利用这个方法，可以判别非齐次线性方程组是否有解，用行初等变换求解.向量线性关系为线性方程组通解提供了理论基础，非齐次线性方程组的任一解都可由其本身的一个特解及对应齐次线性方程组基础解系的线性运算来表示.矩阵特征值、特征向量、二次型内容，是线性方程组理论及方法的一个应用，这个应用也为空间解析几何中讨论二次曲线、二次曲面标准形问题提供了很好的方法.矩阵的初等变换方法，可以用于求行列式，求向量组的秩，并判别向量组是否线性相关，求向量组的最大线性无关组，用最大线性无关组线性表示其余向量，求逆矩阵，用行初等变换求解线性方程组的通解，求矩阵的特征向量.

3.用实际问题引入线性代数的基本概念，用反例说明一些运算的“奇怪”性质

在讲解矩阵相乘、向量（几何学及力学中，向量是作为有大小并有方向的量，而在线性代数中，向量是作为有序数组）、向量线性运算、向量线性相关、向量线性无关等基本概念时，要尽可能地用一些实际问题来引入，不要直接给出定义，以免让学生觉得太抽象，还以为这只是数学老师在故弄玄虚.在这方面，李尚志教授就做得很好，值得我们学习.

我们可以用坐标变换公式来引入一般的线性变换，由线性变换的复合（简单点，就讲3个变量的线性变换的复合）引入矩阵相乘概念.也可以借用销售与收益的模型（收益矩阵=销量矩阵×价格矩阵）来引入矩阵相乘的概念.在高等数学中，两个向量的内积也可看作一个行矩阵与一个列矩阵相乘.

由于我们的工资表、成绩表、线性方程组的解，都只关心各个项的取值，而且取值的顺序不同，所代表的意义就不相同，因此，我们有必要研究有序数组，把这种有序数组称为向量.线性代数中讲的向量就是有序数组，这一点一定要强调.因为，我们发现不少同学做线性代数作业时，向量还是标出箭头，没办法忘记几何、力学中所讲的向量，把握不住线性代数中所讲的向量与几何、力学中所讲的向量的共性.由具体过渡到抽象，必须忘记一个一个具体的事物，而只把握住这些事物的共性.这就是所谓“聪明难，糊涂难，由聪明变糊涂更难”！（郑板桥语）

为什么平面直角坐标系，要而且只要两条坐标轴？为什么空间直角坐标系，要而且只要三条坐标轴？我相信，很多没学过线性代数的同学都没法回答这个问题.为什么有些线性方程组中，方程个数会比未知数个数更多？根据学生在中学的经验，线性方程组中方程个数应该与未知数个数一样多，才能确定未知数的取值.那么，这是否意味着方程个数太多了,也就是说有些方程是多余的？有些方程只是另外一些方程通过同解变换就可得到的？由这些问题展开讨论，我们就可引入向量组的线性运算、线性相关、线性无关的概念了.像这样由一些具体问题引入抽象的概念，原本抽象的概念就变得很自然了.

施密特正交化方法，在三维向量空间中，实际上可以理解为向量的正交分解.给定线性无关向量组α1，α2，α3,记ξ1=α1，用α2减去α2在ξ1方向的分向量得到ξ2，用α3减去α3在ξ1,ξ2方向的分向量得到ξ3，则ξ1,ξ2,ξ3是与α1,α2,α3等价的正交向量组.向量α在ξ方向的分向量是ξ方向单位向量的倍向量，其系数就是向量α与ξ方向单位向量的内积（即α在ξ方向的投影），这一点可用空间解析几何中向量的投影作为基础知识.有了三维空间中向量组的正交化方法，就很容易推广到一般的n维向量空间，得到n维向量空间中的施密特正交化方法.

为什么要讲相似矩阵？很多学过线性代数的同学都不知道为什么要学相似矩阵.其实，这可以从矩阵计算的需要来讲.我们知道，与对角矩阵相似的矩阵，其矩阵多项式（甚至矩阵幂级数）的计算，都非常简单.那么，一个矩阵相似于一个对角矩阵的条件是什么呢？将矩阵相似的表达式用分块矩阵相乘形式展开，就发现我们必须从矩阵特征值、特征向量学起.只要抓住了关键问题，由关键问题顺藤摸瓜，就会引出一大堆的小问题，由各个小问题引入相应的概念，学生就不再觉得抽象.只要学生不觉得抽象，这门课就好学了.

在实数、复数运算中，a-a=b-b，ab=ba，(a-b)(a+b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2，若a≠0，ax=ab,则x=b（消去律成立）.在矩阵运算中，相似的运算律成立吗？在一元线性方程中，若a≠0，则方程ax=b有唯一解x=a-1b=ba-1.在线性方程组中，若A≠0，则线性方程组Ax=b也有唯一解，并可类似地表示为x=A-1b=bA-1吗？若可以，A-1是什么？A-1乘在b的左边和右边都有意义吗？即使有意义（当A,b是同阶数的方阵时，A-1b,bA-1都有意义），它们会相等吗？像这些问题，我们都可以构造反例来说明，使学生学起来对概念的理解会更清晰.文献［7］中，孙兵提供了一些反例，作为老师，我们平时就要多积累一些反例,当学生觉得以上运算的“怪现象”难以理解时，我们就可以拿出反例说明问题.

4.通过线性代数的学习，培养学生的团队合作精神

我们所处的社会是个竞争的社会.竞争，就要有实力！个人的力量总是微不足道的，然而，团结起来力量大！我们的学生，总是要面对社会的，为了学生将来能很快适应社会，我们有必要在教学过程中，培养学生的竞争意识，培养学生的团队合作精神.我们可以将学生分成若干个小组，给每个小组出一个比较难点的题目，让学生课后讨论.只要做对了，或对问题有比较好的想法，我们就给这一组的同学平时成绩加上适当的分数作为鼓励.这个比较难的题目，学生实在做不出的话，老师可以适当提示一下，目的在于鼓励学生继续做下去.在分组时，注意成绩好的与成绩稍差的，要相互搭配（谁成绩好，谁成绩稍差，老师在平时改作业时，要注意做些记录），男女同学也要相互搭配，这样他们讨论起来才有兴趣，才更卖劲！做得比较好的，要在班上表扬，让学生感觉自己的劳动得到了老师和同学的认可.优秀学生是表扬与激励出来的！这种表扬，也可增强同学们的集体荣誉感，对培养学生的团队合作精神很有帮助.

5.对优秀学生要特别培养，努力提高研究生升学率

我们培养的学生，在毕业时，总有一部分学生要再深造的.为了提高研究生升学率，我们有必要在课件中穿插一些研究生升学考试题，扩大同学们的知识面.在讲解研究生考题时，要尽可能精讲，讲清楚题目中所包含的知识面、解题方法的多样性.在选题时，尽可能选综合程度比较高的题，这样就可以通过精选出来的题将教材上的知识点穿插起来，让同学有“一日游遍三川五岳”的感觉.学习优秀的学生从中受益匪浅，学习一般的同学也增长了见识.

【参考文献】

［1］王郁文，梁逸曾，等.非线性问题线性化计算的改进［J］.计算机与应用化学，2005，22（4）：295-300.

［2］汪荣鑫.数理统计［M］.西安：西安交通大学出版社，2011.

［3］刘二根.线性代数［M］.南昌：江西高校出版社，2010.

［4］杨文茂，李全英.空间解析几何［M］.武汉：武汉大学出版社，1999.

［5］李尚志.线性代数［M］.北京：高等教育出版社，2006年5月.

［6］李尚志.让抽象变得显然［J］.中国大学教学，2006（7）：11-13.

［7］孙兵.线性代数教学中的反例构造［J］.数学理论与应用，2011，31（2）:39-40.