选修“圆锥曲线与方程”教材分析

白羽

“圆锥曲线与方程”是选修课程系列1选修1-1和系列2选修2-1中的内容，其中选修1-1是文科内容；选修2-1是理科内容。下面分两部分作简要介绍。

一、对教材处理的建议

（一）明确解析几何的基本思想方法。

解析法（坐标法）；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题数形结合的重要性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。

解析几何的基本思想方法是解析法（坐标法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何问题。在《普通高中课程标准实验教科书•数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程，然后通过它们的方程，研究它们的几何性质。从大的范围看，“曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数方法研究几何问题，是数形结合的重要方面。

（二）抓住轨迹问题的本质——变化过程中的不变量，建立曲线的方程。

轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程，判断轨迹的形状，研究轨迹的几何性质。

三种圆锥曲线的几何特征明显。在椭圆的学习过程中，我们从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征。在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称——椭圆。通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程及标准方程的建立过程，都是与椭圆相类比展开的。

（三）注重实际背景和应用。

实际上，圆锥曲线与人类生活、生产及科研有着紧密的联系。本章引言说明三种圆锥曲线都是用不垂直与圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴的夹角，可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入，目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中，还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，等等。

在教材的拓展栏目中，还安排了“探究与发现——为什么截口曲线是椭圆”；“阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用”。安排了大量的实例，注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。

（四）重视信息技术工具的作用。

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用，发挥的空间也比较大。在教材中，安排了很多“信息技术应用”的内容。

（1）利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程，通过改变截面与圆锥曲线的夹角，得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。

（2）运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点，非常容易探索动点轨迹的形状。一方面，信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境，在动态演示中，观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想。另一方面，当我们求出轨迹的方程后，可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状，加深对方程所表示的曲线形状的理解。比如在教学中，对双曲线渐近线的研究是难点。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目，让学生通过观察，发现双曲线的这一性质。正文中并没有给出严格证明，拓展性栏目“探究与发现——为什么y=±x是双曲线+=1的渐近线”给出了严格的证明，但不作为教学要求。渐近线的概念比较抽象，学生对它的理解需要一个过程。

二、值得注意的问题

（一）注意整个“解析几何”知识的前后衔接，准确把握教学要求。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及（文）选修1-1，（理）选修2-1中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。要注意知识内容的衔接，把相关内容放在平面解析几何内容的通盘考虑，切实把握每部分的教学要求。特别注意的是新课程标准规定的教学要求中，椭圆的内容要求“理解”，双曲线的内容只作“了解”，抛物线的内容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好新课标的精神，第二是把握好学生的实际。根据新课标的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限，全体学生都必须掌握的重点课程应以最基础的知识和最基本的技能为主，要使学生切实把基础打好，不要过分重视技巧性很强的难题。从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求。

（二）圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义，以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求。

教学中，老师经常说到圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第二定义”在教材的相关部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用——用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应用——用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”，但是不作要求。

在教材中安排了一个拓展性栏目“探究与发现——圆锥曲线的离心率与统一方程”，供学有余力的学生学习参考。但是这些大纲明确说明不作为基本要求，不要给学生补充这方面的内容。不然就给学生增加了难度，也增加了老师的负担。

另外，我们讨论的圆锥曲线的方程都是标准方程，并利用它们的标准方程研究它们的性质。非标准形式的圆锥曲线方程不是目前研究的内容，建议不要给学生补充这方面的内容。