微分中值定理应用的一个注记

王丹

摘要： 微分中值定理是微分学中的最重要的基本定理，其应用非常广泛，特别是求函数极限，但在应用微分中值定理时一定要注意所得到的只是一个存在性结果，否则就会出现错误的解答.

关键词： 微分中值定理极限罗比达法则

微分中值定理是《数学分析》及《高等数学》等数学课程的重要知识点之一.其应用非常的广泛，如证明不等式，判定方程根的存在性及其个数，求极限，等等.特别是将微分中值定理应用到求解函数的极限中，我们得到一种非常方便、简洁、有效的方法——罗比达法则.这个法则便于我们求解型与型，以及能化成这两种类型的不定式极限.然而，大家在应用中往往会忽略罗比达法则要求导函数的极限是存在的，引申一点来说就是微分中值定理所得到的结果只是一个存在性的结论，而不是我们求极限所要得出的普遍性的、任意性的结论.本文将从几个典型的例题来论证这一问题的重要性.

下面我们给出微分中值定理的叙述.

Cauchy中值定理设函数f和g满足如下条件，

（Ⅰ）在闭区间［a，b］上连续；

（Ⅱ）在开区间（a，b）内可导，且?坌x∈（a，b），有g′（x）≠0，

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

=.

在Cauchy中值定理中，令g（x）≡x就得到Lagrange中值定理，即函数f在闭区间这［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=.而在Lagrange中值定理条件中再加一个条件f（b）=f（a）就得到Roll定理，即函数f在闭区间［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，且f（b）=f（a），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.

我们把这三个定理统称为微分中值定理.在我们教材中是先给出定理，由Roll定理得到Lagrange中值定理，再由Lagrange中值定理得到Cauchy中值定理.特别是在我们利用Lagrange中值定理来证明Cauchy中值定理时，是利用构造辅助函数的思想，使其满足Lagrange中值定理的条件，来得到Cauchy中值定理的结论.而不是我们初学者往往由函数f和g均满足中值定理的条件，从而对函数f和g分别利用Lagrange中值定理得到

f′（ξ）= （1）

g′（ξ）=（2）

再由（1）（2）式做商就得到了Cauchy中值定理的结论.这里形式上是正确的，但事实上是错误的.因为Lagrange中值定理的结论只是说至少存在一点，我们不能由此就得到（1）（2）式中的ξ是同一点的.我们在教学过程也着重强调了这一点，但往往在实践时还是忽略了这个问题.我们来看一下下面这个例子.

例1.设函数f在（a，b）内可导，且f′单调，证明f′在（a，b）内连续.

我在教学过程中，发现很多能做出此题的学生，竟然证明此题而没有用“导函数f′单调”这个条件.从教学经验看来，这样应该是错误的解答.我仔细看了他们的证明过程，是利用Langrange中值定理来证明的，但证明是有漏洞的，就是将存在性的ξ误解为任意的都成立.他们的解法如下.

证明：?坌x∈（a，b）对任意的一点x∈（a，b）且x≠x，则在函数以x，x为端点的闭区间连续且可导，从而由Lagrange中值定理得，在以x，x为端点的开区间内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=.

由于函数f在（a，b）内可导，从而对上式两边对x取极限得

=f′（ξ），

即f′（x）==f′（ξ），而当x→x时，得到ξ→x，从而有f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），由此我们可得到f′（x）=f′（x）.再由x的任意性知，f′在（a，b）内连续.

这个证明看起来是没有任何理论错误的，但事实上却犯了以偏概全的概念性错误.事实上，虽然当x→x时，得到ξ→x，从而有

f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），

没有任何的错误，但由此就得到f′（x）=f′（x）却是错误的.由于这里的ξ只是一个存在性的，从而ξ→x.这只能代表x→x过程中某一个趋向的极限.而极限f′（x）=f′（x）中要求对沿任何x→x的趋向极限都要存在且相等的.由函数极限的归结原则知，若是在极限f′（x）存在的条件下，我们可以x→x过程中某一个趋向的极限值来算f′（x）的值；但是不能以f′（x）在x→x过程中某一个趋向的极限存在得到f′（x）存在的.

我们来看一个具体函数的例子.函数f（x）=xsin，x≠00， x=0在R都是连续且可导的，但其导函数在x=0处不连续的.事实上，?坌x∈R＼{0}有，f′（x）=2xsin-cos，

而当x=0时，f′（0）==xsin=0，从而我们有f′（x）=2xsin-cos，x≠00，x=0，

显然f′（x）在x=0处是不连续的.

当然这个题的正确证明，应该是先由导函数的单调性利用单调有界定理证明导函数的每一点左右极限存在，再用Lagrange中值定理来分别证明左右导数存在且相等.这里我就不给出具体的证明过程了，大家可以参照文献［1］第164页第九题的详解.

应用微分中值定理求具体的函数的极限出现错误的解法主要表现在多次用罗比达法则时而忽略了导函数的极限是否存在的.我们看一下下面两个具体的例子.

例2.设f（x）=，x≠00， x=0，且g（0）=g′（0）=0，g″（0）=3，试求f′（0）.

我在教学过程发现，学生在处理这个问题时是通过两次利用型罗比达法则，具体解法如下：

f′（0）======

这个答案是正确的，但是解答时不严密的，主要是在第二次用到罗比达法则后求解二阶导数极限时利用了g″（x）在x=0点的连续性，而事实题目中并没有告诉我们g″（x）在x=0点是连续的，而只是说g″（0）=3.而正确的解答是利用一次罗比达法则之后，在利用g″（0）的定义来求解.具体如下：

f′（0）======

例3.证明

（1）若函数f在点a具有连续的二阶导数，则=f″（a）；

（2）若函数f在点a的某个邻域具有连续的二阶导数，则=f″（a）；

（3）若f″（a）存在，则=f″（a）.

我在文献［2］中找到前面两个小题，后一个小题我是根据文献［3］中一个习题编写而来的.前面两个小题我们可以两次利用型罗比达法则就可以证得，而后一个小题只能用一次罗比达法则后只能利用二阶导数的定义来做就如同例2中的解法.具体的解答我就不在此一一列出了.

应用微分中值定理求极限，虽然非常简洁方便有效，但要注意所得到的结果只是一个存在性的结果，而不是任意性的.不能由此得到极限的存在，只能是在极限存在的前提下来求得该极限值.其表现在利用罗比达法则时一定要验证其导函数的极限是否存在，若是盲目地去做就会得出一些错误的解答，这里大家可以参照文献［2］的第169—170页，以及文献［3］的第262页，其中都给出了一些很好的例子.在今后的处理微分中值定理的教学和学习过程中，我们一定要慎重利用所得到的存在性结果，以免得出错误的解答.

参考文献：

［1］曾捷.数学分析（上册）同步辅导及习题全解.中国矿业大学出版社，2007.

［2］华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第二版）.高等教育出版社，1980.

［2］刘玉琏，傅沛仁，林玎等.数学分析讲义（上册）（第五版）.高等教育出版社，2008.