与圆有关角的一个通性

史林虎

〔关键词〕 数学教学；与圆有关的角；通性；应用

〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）15—0081—01

在“圆”这一章中，我们学习了圆心角、圆周角和弦切角，这些角的两边与圆相交或相切.笔者经研究发现，具备这种特点的角共有下列七种情形：

定义：两边与圆相交或相切的角，统称与圆有关的角.

定理：与圆有关的角，等于它所夹弧度数的代数和.如果它所夹的是一条弧，那么它等于它及它的对顶角所夹的两条弧度数和的一半（若无对顶角所夹弧，则度数按零计算）；如果它所夹的是两条弧，那么它等于这两条弧度数差的一半.

证明：（1）如图一，∠1是圆心角，于是∠1=（+）；

（2）如图二，∠2是圆周角，于是∠2=（+0）；

（3）如图三，∠3是弦切角，于是∠3=（+0）；

（4）如图四，作AE∥BD，于是∠4=∠CAE（+）=（+）；

（5）如图五，作BF∥ED，于是∠5=∠CBF=（-）=（-）；

（6）如图六，作BE∥DC，于是∠6=∠EBF=（-）=（-）；

（7）如图七，作BD∥AC，于是∠7=∠DBF=（-）=（-）.

综上，与圆有关的角等于它们所夹弧度数的代数和.那么，如何应用该定理呢？以下举例说明.

例1如图八，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一个动点，过P作⊙O的切线，设切点为C.①连结AC，作∠APC平分线交AC于D.请你测量∠CDP的度数.②猜想∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化？并对猜想加以证明.

解析：观察图八发现，∠A，∠APC均是与圆有关的角，于是∠CDP=∠A+∠APC+（-）（+）=45°.

例2试分析高尔夫球比赛中，击球点与球洞之间的距离和命中率有何关系？

解析：画图、分析、研究得，∠AP1B（-）、∠CP2D（-）.由于＜，且＜，因此∠CP2D＞∠AP1B，命中率与张角∠AP1B的大小成正比，而张角∠AP1B的大小与击球点到球洞中心的距离成反比.故距离越近，命中率越高，反之命中率越低.

至此，我们把圆心角、圆周角和弦切角推广到与圆有关的七种角，于无疑处生疑，把书读厚.然后，探索得出定理，合七为一，整合知识，把书读薄，便于联系，便于记忆，减轻了学生学习的负担.

编辑：刘立英