从一道课本习题谈初中数学模型思想的培养

李文俊

苏科版教材八上第38页第9题：如图（1），点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P.

（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+BQ与AP+PB的大小，并说明理由.

这个数学模型是初中数学中的一个典型模型，可以归纳为“两定点，直线上一动点”的数学模型.

条件为：如图（2），A、B是直线l同旁的两个定点.

问题是：①在直线上确定一点P，使∠APC=∠BPD.

②在直线上确定一点P，使PA+PB最小.

方法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P，则∠APC=∠BPD；PA+PB=PA+PB′=AB′的值最小.

这一数学模型在初中数学中的应用非常广泛，若学生掌握了这一数学模型，则对于他们解决相关问题会有很大帮助.

例1：如图（3）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

模型应用：作出点B的轴对称点B1，连接AB1交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置.

例2：如图（4）所示，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，EM+CM的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

模型应用：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可.

例3：如图（5）所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，求PB的长.

模型应用：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.

例4：如图（6），等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底、下底中点连线EF上的一点，则PA+PB的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

模型应用：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点.而运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.

例5：如图（7），菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

模型应用：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.

例6：如图（8）所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

模型应用：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.

例7：如图（9），在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇cm.

模型应用：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题.因为题目中有一个动点P，两个定点B，Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以应用该模型.

例8：如图（10），MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

模型应用：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度.

例9：如图（11），正比例函数y=x的图像与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图像交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图像上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.

模型应用：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.

例10：如图（12），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

模型应用：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A，O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题.因为题目中有一个动点C，两个定点A，O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.

例11：如图（13），在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

模型应用：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好地运用到平面直角坐标系中.

例12：求函数y=+的最小值.

模型应用：本题是一道求函数最大值的问题，可以利用平面直角坐标系中两点间距离将这个问题转化成几何问题.如图（14），A（2，3），B（0，1），在x轴上有一点P，则PA+PB的最小值就是y=+的最小值，所以作出B（0，1）关于x轴对称的点B′（0，-1）最小值等于AB′的长度.

通过对这个数学模型的分析我们发现，这个模型可以放在诸如三角形、直角梯形、等腰梯形、菱形、正方形、圆、函数等问题中，来解决线段和最小的问题.在这一数学模型中关键是抽象出“两定点，直线上一动点”的基本模型，然后就利用这一数学模型解决相应问题.若学生不理解掌握这一数学模型，解决上述问题就很困难，而且会出现老师反复讲，学生还是不理解的情况，使教学效果事倍功半.

因此，在平时的教学过程中要积极渗透数学模型思想，讲清讲透每个数学模型，这样有利于拓展数学知识面，培养数学应用意识，有利于培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性，培养学生的问题意识，学会数学地思考，为创新能力和实践能力的培养提供广阔的空间、打下坚实的基础.