生生互动 师生互动

陈世平

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程. 数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践，思考，探索，交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习.

一、教学过程中让学生体验知识的形成过程与应用过程

初中数学的内容采用“情景创设 ——得出结论——应用与拓展 ”的步骤进行. 让学生经历知识的形成与应用是一节课的基础，理解知识的意义是关键，掌握和很好地应用知识是最终的目的. 发展应用数学知识的意识与能力、增强学好数学的信心是升华.

八年级下册中学到的《函数》就是抽象数学概念的教学，这一章让学生体会数学知识能够反映实际事物的变化规律.

例１ 点Ｐ是x轴正半轴上的一个动点，过点Ｐ作x轴的垂线ＰＡ交双曲线y ＝ ■于点Ａ，连接ＯＡ，如图1所示.

如图1所示，当点Ｐ在x轴的正方向上运动时，Ｒｔ△ＡＯＰ的面积大小是否变化？若不变，请求出Ｒｔ△ＡＯＰ的面积；若改变，试说明理由.

（２）如图2所示，在x轴上点Ｐ的右侧有一点Ｄ，过点Ｄ作x轴的垂线交双曲线于点Ｂ，连接ＯＢ交ＡＰ于Ｃ，设△ＡＯＰ的面积为Ｓ１，梯形ＢＣＰＤ的面积为Ｓ２，则Ｓ１与Ｓ２大小关系是Ｓ１Ｓ２（填“＞”“＜”“＝”）.

（３）如图3所示，ＡＯ的延长线与双曲线y ＝ ■另一个交点为点Ｆ，ＦＨ垂直于x轴，垂足为点Ｈ，连接ＡＨ，ＰＦ，试说明四边形ＡＰＦＨ的面积为一常数.

分析 因为反比例函数中xy ＝ k，而（１）中Ｓ△ＡＯＰ ＝ ■ = ■，所以面积不会发生变化. （２）中由（１）的结论可知Ｓ△ＡＯＰ ＝ Ｓ△ＢＯＤ，∴ Ｓ１ ＞ Ｓ２.

解 （１）Ｒｔ△ＡＯＰ的面积不发生变化，Ｒｔ△ＡＯＰ ＝ ■ ＝ ■.

（２）∵ Ｒｔ△ＡＯＰ ＝ Ｒｔ△ＢＯＤ，∴ Ｓ１ ＞ Ｓ２

（３）Ｓ四边形ＡＰＦＨ ＝ ■ × ４ ＝ ２k ＝ ２.

每一步都让学生体会数学的价值，学会用变换的观点解释现实世界与图形有关的现象，激发学生学习数学的兴趣.

二、教学过程中鼓励学生自主探索的同时学会交流合作

很多学生的学习过程是单纯地依赖模仿与记忆，这是不可取的，无效的. 因此课堂上教师必须引导学生主动地观察、实验、猜想、推理与交流. 这样学生形成了自己对数学知识的理解和有效的学习方法. 因此，在教学过程中应该让学生充分地经历探索事物的数量关系、变化规律的过程. 很好地运用数学方法解决实际问题.

例２ 组织学生进行如下活动：

（１）用硬纸片制作一个角；

（２）把这个角放在白纸上，描出∠ＡＯＢ（如图4）.

（3）再把硬纸片绕着点Ｏ旋转１８０°，并画出∠Ａ′ＯＢ.

（4）探索：从这个过程中，你能得到什么结论？

通过操作、观察，每名学生都可能发现如下的某些结论：ＯＡ与ＯＡ′，ＯＢ与ＯＢ′是一条直线；∠ＡＯＢ与∠Ａ′ＯＢ′是对顶角，∠ＡＯＢ与∠Ａ′ＯＢ′的大小相等，还可能发现：∠ＢＯA′与∠Ｂ′ＯＡ也是对顶角，也相等；∠ＡＯＢ与∠Ａ′ＯＢ′互补，……

在这样的活动中，学生不但能主动地 获得知识，而且能丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习.

三、教学过程中尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要

学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异. 在教学过程中教师必须及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要. 分层教学主要体现在例题的安排上，让所有不同层次的学生都有锻炼的机会，使一节课的内容充实.

例３ 某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将６０吨水果从Ａ地运到B地，已知汽车和火车从Ａ地到Ｂ地运输路程均为s千米. 这两家运输单位在运输过程中除了要收取运输途中每吨每小时５元的冷藏费用外，还要收取的其他费及有关运输资料如下表：

（１）请分别写出这两家运输单位运送这批水果所需收取的总费用y１（元）和y２（元）（用含s的式子表达）

解 不妨设汽车运输公司的总费用为y１，火车货运站收取的总费用为y２.

则有y１ ＝ ３０００ ＋ ２ × ６０ ｓ ＋ ５ × ■ × ６０ ＝ ３０００ ＋ １２６ ｓ，

y２ ＝ ４６２０ ＋ １．７ × ６０ ｓ ＋ ５ × ■ × ６０ ＝ ４６２０ ＋ １０５．７５ ｓ.

（２）为减少费用，你认为果品公司应选择哪家运输单位送这批水果更合算？

解 由y１ ＞ y２，得３０００ ＋ １２６ ｓ ＞ ４６２０ ＋ １０５．７５ ｓ，解得ｓ ＞ ８０，所以当运送路程超过８０千米时，选择火车；等于８０千米时，两者均可；小于８０千米时，选择汽车.

四、在教学过程中注重知识之间的联系，提高解题能力

在一节课的教学安排上，必须有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会知识之间的联系，感受知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解题能力.