浅谈二次函数在高中阶段的应用

鲍春花

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解.进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对它们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习.

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型一 已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.故f（x+1）=2（x+1）2+（x+1）+2=2x2+5x+5.

类型二 设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则.

二、二次函数的图像、单调性与最值

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c的单调性的结论用定义进行严格地论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

类型三 画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性.

（1）y=x2+2|x|-1

（2）y=|x2-1|

（3）y=x2+2|x-1|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型四 利用函数图像研究最值.

1.已知y=3x2-5x+6，求在下列区间上该函数的值域.

（1）R；（2）[-3，-1]；（3）[-2，2].

研究函数最值，离不开定义域.首先要使学生弄清楚题意，作出在不同区间上抛物线的图像，图像最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大值或最小值的情况也随之变化，要充分借助图像，数形结合求解.

2.设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求g（t）并画出y=g（t）的图像.

解 f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2.

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2.

当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1.

当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2.

g（t）=t2-2，（t<0），

-2，（0≤t≤1），

t2-2t-1，（t>1）.

本题中区间为动区间，而对称轴为定轴，故需根据对称轴与区间位置关系加以分类讨论.若区间确定，而对称轴在变动，解法的基本思想类似，如：f（x）=x2+ax+3在区间[-1，1]上的最小值g（a）.

三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维

类型五 已知二次函数f（x）=x2-2mx+1，其图像与x轴的两个交点在（1，0）两旁，求m的取值范围.

解题思路 根据题中所提供的信息可以联想到：①抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的根；②若方程f（x）=0的两根为x1，x2，即可得到x1>1，x2<1.因此解题思路明显有两条：①利用一元二次方程根与系数关系.②图像法.

方法一 代数法

由题可设方程x2-2mx+1=0的两根x1>1，x2<1，

∴x1-1>0，x2-1<0.

由根与系数关系知：x1+x2=2m，x1x2=1.

∴Δ=4m2-4>0，

（x1-1）（x2-1）=2-2m<0.

方法二 几何法

根据二次函数的性质，y=f（x）是开口向上的抛物线，画出简图，

由图可知抛物线与x轴的两个交点在（1，0）两侧的充要条件是f（1）<0，从而解得m>1.该方法有效地利用了二次函数的图像，结合图像的位置和函数值的符号解决问题，数形结合无处不在，大大提高了解题效率.

一元二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入.