数学思想方法在高考选择题中的应用

黎华 李碧荣

【摘要】数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略.本文阐述了中学数学中所涉及的五种主要数学思想方法，并结合2011年各省市高考数学试题，就五种数学思想方法在选择题中的应用做个浅析.

【关键词】高考选择题；数学；思想方法

数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式.

数学思想方法揭示了数学学习的本质，比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统.

一直以来，高考十分重视对于数学思想方法应用的考查，所以考生应该善于通过应用数学思想方法分析问题、解决问题，来提升自己的数学能力，培养自己的数学素质.

高考数学选择题在当今高考试卷中占分比例高，约占总分的40%.其特点是概括性强，知识覆盖面宽，小巧灵活，有一定的综合性和深度，渗透考查各种数学思想和方法.考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键，而考生能否快速准确地解题，就在于掌握并运用数学思想方法的能力.

下面结合2011年各省市高考数学试题，就五种数学思想方法在选择题中的应用做个浅析.

一、函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还能实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的考查重点.

例1 （2011浙江卷理8）已知椭圆C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）与双曲线C2：x2-y2[]4=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则

A.a2=13[]2B.a2=13

C.b2=1[]2D.b2=2

分析 本题利用方程思想，通过建立渐近线方程与椭圆方程的关系，从而求解出答案.

利用渐近线方程将椭圆方程化为b2x2+（b2+5）y2=（b2+5）b2.∵椭圆与双曲线有公共焦点，则有x2=（b2+5）b2[]5b2+20.又∵C1将线段AB三等分，∴1+22×2（b2+5）b2[]5b2+20=2a[]3，解得b2=1[]2.故选C.

注 我们应用函数思想的几种常见类型有：

（1）把字母看作变量或把代数式看作函数.

（2）用函数和方程的性质解题.

（3）构造函数解题.

二、数形结合的思想

数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由数想形，以形助数，具有可以使问题直观呈现的优点，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

但是，在高考选择题中，主要是数到形的转化，以借助图形的直观性研究数的问题，最终实现数形结合的目标.

数到形的转化工具有：坐标法、方程曲线和函数图像.

例2 （2011陕西卷理6）函数f（x）=x-cosx在[0，+∞）内（）.

A.没有零点 B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

分析 本题可以采用数形结合的思想，关键在于如何将数转化成形.

令f（x）=x-cosx=0，则x=cosx.设函数y=x和y=cosx，如图，它们在[0，+∞）的图像的交点有且只有一个，所以函数f（x）=x-cosx在[0，+∞）内有且仅有一个零点.故选B.

注 在应用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

三、分类与整合的思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.由于这类数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，对学生能力的考查有着重要的作用，因而在高考试题中占有重要的位置.

例3 （2011山东卷理4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（）.

A.[-5，7] B.[4，6]

C.（-∞，-5]∪[7，+∞）D.（-∞，-4]∪[6，+∞）

分析 本题考查解绝对值不等式的知识，在求解的过程中需对x的取值范围进行分类，再综合考虑.题目中需把5与-3作为临界点，分类讨论，最后得x≥6或x≤-4，故选D.

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：（1）要确定讨论对象，以及所讨论对象的全体的范围；（2）确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重；（3）对其逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；（4）进行归纳小结，综合得出结论.

四、化归与转化的思想

化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其他学科相比，一个特有的数学思想方法.化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现.

例4 （2011辽宁卷理3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）.

A.3[]4B.1C.5[]4D.7[]4

分析 本题考查学生的等价转换能力，将问题转化成梯形中位线问题，从而过渡求解中点C的横坐标.由抛物线定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|，则中点C的横坐标为3[]2-1[]4=5[]4.故选C.

在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明、运算推理、模式构建等理性思维能力的考查进行，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比.将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决.因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.

五、特殊与一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.在研究数学问题时，特殊与一般相结合也是一种既普遍又有效的思想方法.特别是在解答选择题时，若能恰当利用特殊与一般的辩证关系，则能快速解决问题，为高考争取时间.

特殊与一般相结合的思想在解题中的应用主要表现在：一是特殊赋值法，即通过给变量赋值达到迅速判断的目标；二是抓住问题的某个特殊条件展开分析和思考；三是由部分特殊情形归纳总结出一般的数学规律.

例5 （2011辽宁卷理9）设函数f（x）=21-x，x≤1，

1-log2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）.

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，∞）

分析 本题运用特殊值法能更快解决问题.观察四个选项中包含的特殊点，分别取x的特殊值0、2、3，都能满足题意，则选D.

一般地，这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中.特殊化可使我们对问题的认识更加具体、明确，而一般化则使我们对问题的认识更加深刻、全面.“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现.

众所周知，知识是形成能力的基础，但知识并不等于能力，掌握数学思想方法是形成能力、完善思维的必要条件.因此，要全方位提高学生的数学素质乃至科学素质，在中学数学教学中，不仅仅需要知识的教学，更要注意强化数学思想方法的教学.