浅议数列通项公式的求法

王宁岚

【摘要】本文根据教学经验结合高考题，浅谈求数列题的常用策略：化归转化策略，数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解，就数列通项公式的几种初等求法作一总结.

【关键词】通项公式；递推公式；求法

一、公式法

例1 数列{a璶}为等差数列，a璶为正整数，其前n项和为S璶，数列{b璶}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列{b璦璶}是公比为64的等比数列，b2S2=64.求a璶，b璶.

解 设{a璶}的公差为d，{b璶}的公比为q，则d为正整数，

a璶=3+（n-1）d，b璶=q琻-1.

依题意有b璦璶+1[]b璦璶=q3+nd[]q3+（n-1）d=q琩=64=26，

S2b2=（6+d）q=64.

①

由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一.

解①得d=2，q=8.故a璶=3+2（n-1）=2n+1，b璶=8琻-1.

评注 这类问题的递推式为a璶+1=a璶+d及a璶+1=aqa璶（d，q为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而用公式求解.

二、已知数列前n项和S璶求通项a璶

例2 设数列{a璶}的前n项和为S璶，已知a1=a，a璶+1=S璶+3琻，n∈N*.设b璶=S璶-3琻.求数列{b璶}的通项公式.

解 依题意，S璶-1-S璶=a璶+1=S璶+3琻，即S璶+1=2S璶+3琻，

由此得S璶+1-3琻+1=2（S璶-3琻）.

因此，所求通项公式为b璶=S璶-3琻=（a-3）2琻-1，n∈N*.

评注 这类问题往往能从题目中得到数列的前n项和S璶和通项a璶的关系式，通常

利用公式a璶=S1， （n=1）

S璶-S璶-1，（n≥2）求通项.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即将a1和a璶合为一个表达式.

三、叠加法或叠乘法

类型1 若数列{a璶}，通项公式满足递推公式：a璶+1=a璶+f（n），f（n）为可求的和.a璶=a璶-a璶-1+a璶-1-a璶-2+…+a2-a1+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a1.

类型2 若数列{a璶}，通项公式满足递推公式：a璶+1=a璶·f（n），f（n）为可求的积.a璶=a璶[]a璶-1·a璶-1[]a璶-2·…·a3[]a2·a2[]a1=f（n-1）f（n-2）·…·f（1）a1.

例3 在数列{a璶}中，a1=1，a2=2，且a璶+1=（1+q）a璶-qa璶-1，（n≥2，q≠0）.

（Ⅰ）设b璶=a璶+1-a璶（n∈N*），证明{b璶}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a璶}的通项公式.

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

a2-a1=1，

a3-a2=q，

……

a璶-a璶-1=q2，（n≥2）.

将以上各式相加，得a璶-a1=1+q+…+q琻-2，（n≥2）.

所以当n≥2时，a璶=

1+1-q琻-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

上式对n=1显然成立.故通项为

a璶=1+1-q琻-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

评注 一般地，对于形如a璶+1=a璶+f（n）类的通项公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法.

另外，对于形如a璶+1=f（n）·a璶类的通项公式，当f（1）·f（2）·…·f（n）的值可以求得时，宜采用此方法，称之为叠乘法.

例如：已知数列{a璶}满足a1=1，S璶=（n+1）a璶[]2，（n∈N），求{a璶}的通项公式.

析 ∵2S璶=（n+1）a璶，（n∈N），2S璶-1=na璶-1，（n≥2，n∈N），

两式相减得2a璶=（n+1）a璶-na璶-1，∴a璶[]a璶-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

于是有a2[]a1=2[]1，a3[]a2=3[]2，a4[]a3=4[]3，…，a璶[]a璶-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

以上各式相乘，得a璶=na1=n，（n≥2，n∈N），又a1=1，∴a璶=n，（n∈N+）.

四、构造等差数列或等比数列

若数列{a璶}，通项公式满足递推公式：a璶+1=pa璶+q，p，q为常数，p=1时为等差，q=0时为等比.当p≠1，q≠0时，有以下两种构造形式：

构造1 由等式的两边除以p琻+1可得：a璶+1[]p琻+1=a璶[]p琻+q[]p琻+1，转化类型1，可求其通式.

构造2 设存在α，使得a璶+1+α=p（a璶+α），解得α=q[]p-1，即 a璶+1+q[]p-1=pa璶+q[]p-1，则a璶+q[]p-1以a1+q[]p-1为首项，p为公比的等比数列，可求其通式.

求数列通项是学习数列时的一个难点，也是高考中的一个重点.由于求通项公式时渗

透了大量的数学思想方法，如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分析与综合，非逻辑方法中的反思维定式等，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.本文力图通过归纳，引导读者不仅关注一类题的解法（通法），也要在归纳中反思数学思想方法，从而让数学思想方法能更广泛、深入地运用于数学学习之中.

【参考文献】

[1]李盘喜.高中数学解题题典.长春：东北师范大学出版社，2001.

[2]牛德胜.中学数学1+1.南方出版社，2003.