正整数的方幂的方阵与费马定理

张尔光

【摘要】本文以数学矩阵（方阵和三角矩阵）表达正整数的方幂，从其反映出来的规律中发现“xn+yn=zn”成立的必须具备的必要条件，证明到在“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”方阵等式中不具备“xn+yn=zn（n≥3）”成立的必须具备的必要条件，既不存在“xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）”（即不存在“xn方阵+yn方阵=zn方阵”），也不存在“xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）”（即也不存在“xn-2个x2方阵+yn-2个

y2方阵=zn-2个z2方阵”），所以费马定理成立.

【关键词】正整数；方幂；方阵；费马定理；必要条件

绪言与结论

本文说的整数是指正整数，论证的是正整数的“xn+yn=zn”方程式.

1670年，费马的儿子在清理其父遗著时发现了费马定理.325年之后，1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯与其学生理查·泰勒应用椭圆曲线的原理对费马定理作出了证明.笔者认为，费马定理是一个关于整数方幂之间关系的方程式命题，一方面，应用整数方幂方阵的原理对其作出证明，这似乎更合乎该命题的题意；另一方面，记得我在念高中的时候，一位数学老师曾说过，一道代数方程式不只一个解法，应有两个以上的多个解法.基于这个观点，笔者尝试以整数方幂方阵的原理，从费马定理不成立的必要条件的角度，对费马定理进行论证.

笔者研究结果表明，任何一个整数（n>1）的2次幂均可表为一个由“1”组成的方阵，任何一个整数的n（≥3）次幂均可表为一个由“该整数的n-2次幂（即nn-2）”组成的方阵，也可表为一个由nn-2个由“1”组成的方阵组成的方阵群.两个整数2次幂相加之和等于另一个整数的2次幂（即x2+y2=z2）成立，是在于x2，y2，z2三者方阵的组成元素相同、方阵数相同（即均为一个由“1”组成的方阵）.费马关于“不可能把任意一个次数大于2的整数的方幂，表为两个整数的同次方幂之和（即xn+yn≠zn）”的定理之所以成立，是在于任何一个次数大于2的整数的方幂表为一个方阵时，其组成的元素各不相同，xn，yn两者方阵不可能转换为与zn方阵同一元素组成的方阵，即任何一个次数大于2的整数的方幂除以该整数的2次幂，不可能等于另一个整数的同次方幂减去2次幂，亦即xn÷x2≠zn-2（含yn÷y2≠zn-2），不存在“xn方阵+yn方阵=zn方阵”.同理，如将xn，yn，zn三者方阵分别表为一个由nn-2个由“1”组成的方阵组成的方阵群，虽然其方阵群的各个方阵的组成元素相同，但其方阵群的方阵数各不相同，不存在xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2），即不存在“xn-2个x2方阵+yn-2个y2方阵=zn-2个z2方阵”.所以，“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”成立.

一、“xn+yn=zn”方程式中的一种数学现象

在整数的“xn+yn=zn”方程式中，如将xn，yn，zn三者的次数由1至2、至3的等式做分析，不难发现其存在的一种数学现象.

事实告诉我们，当xn，yn，zn三者的次数为1（即n=1）时，即在“x+y=z（z≥2）”方程式中，任何一个z（即大于2的整数）均可表为两个整数相加之和，反之，任何两个整数相加之和均可表为另一个整数.因此，“x+y=z（z≥2）”成立.

事实还告诉我们，xn，yn，zn三者的次数为2（即n=2）时，即在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，不可能做到任何一个大于2的整数平方（即z2）均可表为两个整数平方相加之和，比如62，72，82不可能表为一个整数平方加另一个整数平方；反之，也不可能做到任何一个整数平方加一个整数平方等于另一个整数平方，比如“22+32”、“32+52”、“42+52”，其和不可能等于另一个整数平方.因此，在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，只是存在部分一个整数平方（即z2）可表为两个整数平方相加之和，只是存在部分一个整数平方加一个整数平方等于另一个整数平方.所以，“x2+y2=z2（z≥2）”成立.

事实和费马定理告诉我们，xn，yn，zn三者的次数为3（即n>2）时，即在“x3+y3=z3（z≥2）”方程式中，任何一个整数三次方（即z3）均不可能表为两个整数三次方相加之和，反之，任何两个整数三次方相加不可能等于另一个整数三次方.因此，“x3+y3=z3（z≥2）”不成立.

从以上事实看出，在整数的“xn+yn=zn”方程式中，当xn，yn，zn三者的次数为1（即n=1）时，完全成立；当xn，yn，zn三者的次数为2（即n=2）时，部分成立；当xn，yn，zn三者的次数为3（即n>2）时，完全不成立.幂的次数仅是从1至2、至3的递升，其结果就发生了“完全成立→部分成立→完全不成立”如此截然不同的质的变化.这种数学现象隐藏着其中的奥秘.对此，如以数学矩阵的表达方式去研究它，从中发现它的规律性，这对于进一步认识和另辟蹊径破解费马定理，是有积极意义的.

二、“x+y=z（z≥2）”矩阵等式的共同特征

图 1我们知道，任何一个整数都可表为一个由“1”组成的行阵（或列阵），如图1所示.

我们知道，在“x+y=z（z≥2）”等式中，任何一个z（即大于2的整数）均可表为两个整数相加之和，如用矩阵表示，均可表为一个由“1”组成的行阵加另一个由“1”组成的行阵.

从例证1至例证3看出，在“x+y=z（z≥2）”行阵等式中具有两个共同特征，其一，x、y、z三个行阵均为由“1”组成，其组成元素相同；其二，1个完整的z行阵是由1个完整的、小于z的行阵加另1个完整的、小于z的行阵组成，x、y、z三者行阵数相同.

三、“x2+y2=z2（z≥2）”矩阵等式的共同特征

1.任何一个整数平方均可表为一个由“1”组成的方阵或三角矩阵

笔者在《地图与数学的组合、排列及三角矩阵》一文（见《数学学习与研究》2011年第19期）中，经做图证明得出结论：任何一个整数（n>1）的2次幂均可表为一个由“1”组成的方阵，而且这个方阵既可表为一个由“1”组成的三角矩阵，也可表为两个由“1”组成的三角矩阵，见图5.

根据整数的2次幂的方阵和三角矩阵的规律，遵循组合数“循序逐增”的基本原理，整数的2次幂的三角矩阵和方阵可以图6来表示.其定理为：n2=C2n+C2n+1.

图6 n2的三角矩阵和方阵图

2.“x2+y2=z2（z≥2）”矩阵等式的共同特征

我们知道，在整数的“x2+y2=z2”等式中，是部分成立.对这部分成立的“x2+y2=z2”等式如用矩阵等式表达出来，并做分析，那么就会发现其共同特征.

例证1 32+42=52的方阵和三角矩阵等式，见图7、图8.

例证2 62+82=102的方阵和三角矩阵等式，见图9、图10.

从例证1、例证2看出，在“x2+y2=z2（z≥2）”方阵（三角矩阵同）等式中具有两个共同特征，其一，x2，y2，z2三者方阵均为由“1”组成，其组成的元素相同；其二，三者方阵均为1个完整的方阵，即1个完整的z2方阵是由1个完整的、小于z2的方阵加另1个完整的、小于z2的方阵组成，三者阵数相同.

“方阵（三角矩阵）的组成元素相同”和“x2，y2，z2三者阵数相同”，这就是成立的“x2+y2=z2”方阵（三角矩阵）等式的共同特征，也是“x2+y2=z2”能够成立的两个必要条件.此两个必要条件缺一不可.

根据“n2=C2n+C2n+1”定理，“x2+y2=z2”可置换为：（C2x+C2x+1）+（C2y+C2y+1）=（C2x+C2z+1）.

四、整数n（≥3）次幂的方阵的规律

研究结果表明，任何一个整数的n（≥3）次幂均可表为一个由“该整数的n-2次幂”组成的方阵，也可表为一个由“该整数的n-2次幂”组成的三角矩阵，还可表为两个由“该整数的n-2次幂”组成的三角矩阵.

例证1

整数2的3次幂、4次幂、5次幂的方阵和三角矩阵（见图11）.

整数3的3次幂、4次幂、5次幂的方阵和三角矩阵（见图12）.

整数4的3次幂、4次幂、5次幂的方阵和三角矩阵（见图13）.

根据整数的n（≥3）次幂的方阵和三角矩阵的规律，遵循组合数“循序逐增”的基本原理，整数的n次幂的三角矩阵和方阵可以下图来表示：

图14 nn的三角矩阵和方阵

其定理为：nn=（C2n+C2n+1）×nn-2（式中整数n≥2，方幂n≥3）.

根据“n2=C2n+C2n+1”定理，nn=（C2n+C2n+1）×nn-2又可表为：nn=n2×nn-2.此定理表明，由“nn-2”组成的nn方阵亦可转换为由若干以“1”为元素组成的方阵组成的方阵群.如24，可表为：

五、费马定理的另一种表述

四川科学技术出版社于1985年出版的《古今数学趣话》一书的《能下金蛋的母鸡——“费马猜测”古今谈》对费马定理的原本内容是这样表述的：“不可能把一个整数的立方表为两个整数的立方和，也不可能把一个整数的四次幂表为两个整数的四次幂和.一般来说，不可能把任意一个次数大于2的整数的方幂，表为两个整数的同次方幂之和.”用现代的专业用语来说，就是当n>2时，不定方程：

xn+yn=zn不存在正整数解.

根据上文求证到的“任何一个整数的n（≥3）次幂均可表为一个由‘该整数的n-2次幂组成的方阵”的结论，费马定理可以下面文字来表述：

不可能把一个整数的立方的方阵表为两个整数的立方的方阵，也不可能把一个整数的四次幂的方阵表为两个整数的四次幂的方阵.一般来说，不可能把任意一个次数大于2的整数的方幂的方阵，表为两个整数的同次方幂之方阵.其不定方程为：

[（C2x+C2x+1）×xn-2]+[（C2y+C2y+1）×yn-2]=（C2z+C2z+1）×zn-2.

不存在正整数解.

已知n2=C2n+C2n+1，那么，费马定理又可表为：

（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2不存在正整数解.

六、对“xn+yn≠zn”（n≥3）的证明

研究结果表明，“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于将xn，yn，zn表为整数的方幂的方阵时，这3个整数的方幂的方阵不同时具备“方阵的组成元素相同”和“方阵的个数相同”这两个必要条件，只是具备其中的一个必要条件.

1.xn方阵+yn方阵≠zn方阵：在于“方阵的个数相同”而“方阵的组成元素不相同”

例证1 以33+43≠53为例.

已知：x3=33=33-2×32，y3=43=43-2×42，z3=53=53-2×52.

那么，33+43≠53则为（33-2×32）+（43-2×42）≠53-2×52.

其方阵等式如图15所示.

从上图看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方阵，虽然方阵的个数相同（均为1个），但组成方阵的元素各不相同，x3方阵的组成元素是33-2，y3方阵的组成元素是43-2，z3方阵的组成元素是53-2.假如将x3，y3两个方阵的组成元素改换为同是z3方阵的组成元素“53-2”，那么，其方阵等式如图16所示.

显然，图16的方阵等式是成立的.但是，此方阵53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

已是“53-2×32”的方阵，并非是“33-2×32”的方阵；此方阵53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

已是“53-2×42”的方阵，并非是“43-2×42”的方阵.

可见，33+43≠53是在于其3个方阵的组成方阵元素各不相同.

例证2 以34+44≠54为例.

已知：x4=34=34-2×32，y4=44=44-2×42，z4=54=54-2×52.

那么，34+44≠54则为（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52.

其方阵等式如图17所示.

从上图看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方阵的组成元素各不相同，如将这x4，y4两个方阵的组成元素改换为同是z4方阵的组成元素“54-2”，那么，其方阵等式如图18所示.

显然，此方阵等式是成立的.但其表达的是“（54-2×32）+（54-2×42）=54-2×52”，并非是“（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52”.

例证3 以63+83≠103为例.

已知：x3=63=63-2×62，y3=83=83-2×82，z3=103=103-2×102.

那么，63+83≠103则为（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102.

其方阵等式表为：

从上图看出，63+83≠103，是在于x3，y3，z3三者方阵的组成元素各不相同.如将上方阵等式的x3，y3两个方阵的组成元素改换为同是z3方阵的组成元素“103-2”，那么，其方阵等式如图20所示.

显然，此方阵等式是成立的.但其表达的是“（103-2×62）+（103-2×82）=103-2×102”，并非是“（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102”.

从例证1至例证3的方阵等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方阵的方阵中，必须存在两个可转换为同是zn方阵的组成元素“zn-2”组成的方阵：一个是可转换为“zn-2×x2”的方阵，另一个是可转换为“zn-2×y2”的方阵.整数n次幂的除法法则和事实告诉我们，只存在xn÷x2=xn-2（含yn÷y2=yn-2）等式，绝不会有xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）的计算结果.因此，在小于zn方阵的方阵中，绝不可能存在可转换为同是zn方阵的组成元素“zn-2”组成的方阵，亦即不存在“xn方阵+yn方阵=zn方阵”.所以，费马定理成立，此证.

2.xn-2个x2方阵+yn-2个y2方阵≠zn-2个z2方阵：在于“方阵的组成元素相同”而“方阵的个数不相同”

根据“nn=n2×nn-2”的定理，现将上文的例证1、例证2的方阵等式转换为同由“1”组成的方阵等式进行证明.

从上图看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方阵群的方阵个数不相同.如将x3，y3两者方阵群的方阵个数改换为同是z3方阵群的方阵个数“53-2”，那么，其方阵等式如图22所示.

从上图看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方阵群的方阵个数不相同.如将x4，y4两者方阵群的方阵个数改换为同是z4方阵群的方阵个数“54-2”，那么，其方阵等式如图24所示.

显然，此方阵等式是成立的.但其表达的是“（32×54-2）+（42×54-2）=52×54-2”，并非是“（32×34-2）+（42×44-2）≠52×54-2”.

从例证1、例证2的方阵等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方阵群的方阵群中，必须存在两个可转换为其方阵个数与zn方阵群的方阵个数相同的方阵群：一个是可转换为“x2×zn-2”的方阵群，另一个是可转换为“y2×zn-2”的方阵群.整数n次幂的除法法则和事实告诉我们，只存在xn÷xn-2=x2（含yn÷y2=yn-2）等式，绝不会有xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）的计算结果.因此，在小于zn方阵群的方阵群中，绝不可能存在可转换为“x2×zn-2”（含yn×zn-2）的方阵群，亦即不存在“xn-2个x2方阵+yn-2个y2方阵=zn-2个z2方阵”.所以，费马定理成立，此证.

综上所证，得出结论：“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于将xn，yn，zn表为整数的方幂的方阵时，三者方阵不同时具备“方阵的组成元素相同”和“方阵的个数相同”这两个必要条件，只是具备其中的一个必要条件.

事实上，根据“xn方阵+yn方阵=zn方阵”必须具备的两个必要条件和费马定理给出的“同次方幂”的原则，用逆向思维方式去思考，不难发现，对费马定理的证明，其实就是对“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”作出证明.现证明如下：

将“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”转换为：

[（x2×xn-2）+（y2×yn-2）]÷zn-2=z2.

那么，得[（x2×xn-2）÷zn-2]+[（y2×yn-2）÷zn-2]=z2.

∵zn-2>xn-2，∴（x2×xn-2）÷zn-2

同理∵zn-2>yn-2，∴（y2×yn-2）÷zn-2

可见，在小于z的整数的n（≥3）次幂的方阵中，不存在可转换为“x2×zn-2的方阵”和“y2×zn-2的方阵”的同次幂方阵，即（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2.所以，费马定理成立，此证.