关于“求与已知直线夹角为定值的直线方程的定理”一文的疑惑

熊青厚

近日细读文[1]，产生了一些疑惑，现述如下，与作者商榷.

疑惑1 文[1]提到课本上求过已知一点与已知直线平行或垂直的直线方程的例题的解题过程分为两步：先利用两直线平行或垂直的充要条件求出所求直线的斜率，再根据点斜式写出直线方程.作者认为“这种解法解题过程不够简练，特别是当所给已知直线斜率不存在时，用上述方法求解这类问题，更使人无从下手”.我认为，该观点有些言过其实了.理由有四：一是教学实践表明，过一点求直线方程，就需要求斜率，涉及斜率，就得看斜率是否存在，这种思维是一环套一环的，学生容易想到.二是在具体求解过程中，若所给直线斜率不存在时，不是直接可写出所求直线方程吗，怎么就“更使人无从下手”了呢？三是相比直接套用定理写出所求直线方程，课本上的例题的解题过程“不够简练”，但把这种定理的推导和记忆负担加给学生，有必要吗？四是直线的斜率是否存在，涉及分类讨论思想，这正是培养学生思维的缜密性，提高数学素养的大好时机，不可省略.

疑惑2 文[1]中的定理1和定理2分别给出了过一个已知点与一条已知直线平行或垂直的直线方程，其推导过程分已知直线斜率存在或不存在两种情况讨论，然后根据点斜式或数形结合写出方程，解题思路同课本例题如出一辙.其证明过程甚至略嫌重复，定理1的证明过程中的“Ⅱ）证明：l1∥l2”“Ⅲ）再证：直线l2过点Mx0，y0”显得多此一举.定理2的证明过程中情况类似.

疑惑3 文[1]给出了定理3：过点Mx0，y0且与直线Ax+By+C=0其中A2+B2≠0夹角为θθ≠π2的直线方程是Btanθ-Ax-x0-Atanθ+By-y0=0.

其实还有一条直线方程应为Btanθ+Ax-x0-Atanθ-By-y0=0.导致这种错误的根源在于定理3的证明过程中“1）当θ≠π2时，设所求直线的斜率为k，根据两直线相交所成角公式tanθ=k+AB1-ABk”应为“…tanθ=k+AB1-ABk”，进而可得到不同的k.相应地，作者将定理2归结为定理3中当θ=π2时的特例是不合适的，因为当θ=π2时，tanθ没有意义了.

疑惑4 文[1]中的例1（课本54页，第9题），利用定理3得到的直线方程为3x+7y-13=0.根据上文的疑惑3知，正确答案应为3x+7y-13=0和7x-3y-11=0.几何直观也告诉我们，所求的直线应该有两条.

顺便提及，文[1]被寸土寸金的数学通报2012年第2期和第5期两次登载，是编辑疏忽，还是另有隐情，令人费解！

【参考文献】

[1]张鑫.求与已知直线夹角为定值的直线方程的定理[J].数学通报，2012（2），2012（5）.

[2]普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）[M].北京：人民教育出版社，2004.