2012年高考数学福建卷理科第22题的推广

吴叶科

题目 如图1，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆E的方程.

图 1（Ⅱ）如图2，设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

笔者在对该题第（2）小题进行探讨时，发现了圆锥曲线中的一组优美性质及它的推广形式，写出拙文与读者分享.

图 2性质1 如图2，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与右准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆过右焦点F2.

证明 由x2a2+y2b2=1，y=kx+m，

得（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2-a2b2=0.

∵直线l与椭圆E只有一个公共点P（x0，y0），∴m≠0，Δ=0.

∴Δ=4k2m2a4-4a2（m2-b2）（b2+a2k2）=0，整理得m2=b2+a2k2.

∴x0=-2mka22（b2+a2k2）=-2mka22m2=-a2km，y0=-a2k2m+m=m2-a2k2m=b2m.

∴P-a2km，b2m.

由x=a2c，y=kx+m.得Qa2c，ka2+cmc.

则F2P=-a2km-c，b2m，F2Q=a2c-c，ka2+cmc.

于是F2P·F2Q=-a2km-c·a2c-c+b2m·ka2+cmc=a4kmc-a2+a2ckm+c2+a2b2kmc+b2

=a2k（-a2+b2+c2）mc+（-a2+b2+c2）=0.

所以F2P⊥F2Q，即以PQ为直径的圆过右焦点F2.

图 3性质2 如图3，双曲线x2a2-y2b2=1（a，b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），动直线l：y=kx+m与双曲线有且只有一个公共点P，且与右准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆过右焦点F2.

证明仿照性质1的证法，此处不再赘述.

图 4性质3 如图4，抛物线x2=2py（p>0）的焦点分别为F0，p2，动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆过右焦点F.

证明 由x2=2py，y=kx+m，得x2=2p（kx+m）.

∵直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），∴m≠0，Δ=0.

∴Δ=4p2k2+8pm=0，由p>0，整理得m=-p2k2.

∴x0=pk，由y=x22p得y0=p2·k2.∴Ppk，p2·k2.

由y=-p2，y=kx+m，得Q-p2k-mk，-p2.

则FP=pk，pk22-p2，FQ=-p2k-mk，-p.

于是FP·FQ=pk-p2k--p2k2k+pk22-p2（-p）=-p22+p2k22-p2k22+p22=0.

所以FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆过焦点F.

综合性质1，2，3，可得

统一性质 设圆锥曲线E的一条准线为l，相对应的焦点为F，动直线l′与圆锥曲线E相切于点P，且与准线交于点Q，则以PQ为直径的圆必过焦点F.