一元二次不等式恒成立问题解决方法的选择与应用

钱敏

一元二次不等式在高考中达到C等级，要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.其中一元二次不等式恒成立问题贯穿函数、导数、不等式，综合性较强，方法灵活，是学生学习中的一大难点.本文就已知一元二次不等式恒成立求其中参数的取值范围的题型，以2012年高考题为引例，具体说明该题型的几种常用形式及方法的选择与应用.

一元二次不等式恒成立求解参数的取值范围的题型常见的解决方法有两类，一是把一元二次不等式与对应二次函数相联系求解，二是分离出其中的参数转化为最值问题求解.下面就这两类方法来具体说明.

题型一 一元二次不等式在R上恒成立问题，求参数取值范围

例1 （2012年福建高考（文））已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________.

分析

方法1 与二次函数相联系.

（1）与二次函数y=x2-ax+2a图像相联系理解题意，该二次函数已确定图像开口是向上的，不等式大于0，即告诉我们要的是抛物线上y>0的点，x∈R即告诉我们所有点的x，合在一起理解即为抛物线上所有点的y都大于零，由此题意思考得出此抛物线开口向上与x轴无交点，即Δ<0，计算a2-4·2a<0，得出0

（2）与二次函数y=x2-ax+2a的最值相联系理解题意，关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，即二次函数y=x2-ax+2a的最小值要比0大，由此先得出二次函数y=x2-ax+2a的最小值是顶点处的y即8a-a2[]4>0，同样得出0

方法2 分离参数转化为最值问题.

x2-ax+2a>0也可转化为a（x-2）2，

a>x2[]x-2，x<2，

a∈R，x=2.

最后通过求x2[]x-2的最值得出a的范围.x>2时，x2[]x-2≥8，由此得出a<8；x<2时，x2[]x-2≤0，由此得出a>0；又x=2时，a∈R.综合得出0

这里由于最后转化为求最值问题，则要求学生对于求最值的几种常见方法较为熟悉.如基本不等式求最值、利用导数和函数单调性求最值等.

这道高考题可运用多种方法来解决，就以上两类方法来看，可发现这道题运用第一类的方法解决较为简便，第二类方法由于此题x∈R对于转化式中的分母要分情况讨论，则相对于第一类方法略为复杂了.教会学生在高考中就同一题目怎样选择较为简易适当的方法解决问题，至关重要.

高考原题变形 已知关于x的不等式x2-ax+2a≤0的解集为В求实数a的取值范围.

分析 变形后的题目理解对于学生来说比原题稍难一点，这要求学生对数学符号、数学语言有一定的理解能力.通过细细读题，慢慢分析，就可发现变形后的题目与原高考题是同一意思.首先要理解解集为空集是何含义：空集即没有，不存在的意思，没有x满足不等式x2-ax+2a≤0，那x满足什么呢？即所有的x都应满足不等式x2-ax+2a>0.由此，原题可转化为不等式x2-ax+2a>0在x∈R上恒成立，求a的取值范围.

高考原题改编题 已知关于x的不等式ax2-ax+2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________.

分析 该题不再是单一的一元二次不等式恒成立的问题了，由于x2前的系数a不明确是否不为0，因而要分情况分析了.a=0时，非一元二次不等式，此时题意是否满足；a≠0时，是一元二次不等式，此时才能运用解决该题型的两类方法.就一元二次不等式而言，改编后的题并不明确其图像的开口方向，如要与二次函数图像相联系，应根据题意明确开口方向及与x轴交点的情况，通过分析可以发现其开口也应是向上的且Δ≤0.在该题中，学生易犯两点错误：（1）不考虑非一元二次不等式的情况.（2）对于一元二次不等式对应的二次函数图像不具体分析其开口和与x轴交点情况，仅记忆Δ<0.针对这两点，教师在平时教学中应注意增加学生自我分析题意的机会，提高学生理解分析题意的能力.

题型二 一元二次不等式在指定区间上恒成立问题

例2 （2012年上海高考（春））若不等式x2-kx+k-1>0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是___________.

分析 本题虽对x的范围有所要求，但两类方法同样都适用，只是简易程度各有不同.

方法1 与二次函数的图像相联系，这里即指开口向上的抛物线y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）上的点的y均要大于0，先进行计算发现Δ≥0，对称轴x=k[]2，再进行计算发现f（1）=0，由此图形应是下列两种Δ>0和Δ=0的情况，经过多次图像分析得出对称轴x=k[]2≤1，由此计算出k≤2.

也可以与二次函数的最值相联系，即根据题意二次函数y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）的最小值应大于0，由于这里给出了x的范围，因此求最值时应就对称轴是否在区间范围内进行讨论.

方法2 参数分离转化为最值问题，则不需要过多的计算和分类讨论了.x2-kx+k-1>0可转化为（1-x）k>1-x2，由于这里给出了x的范围，因此可直接得出k<1+x，直接可由1+x的最值得出k的范围.由于x∈（1，2），所以1+x>2，因此k≤2.

通过两类方法的比较可以发现本题运用第一类方法与二次函数相联系时，需要经过多次计算才能得出符合题意情况相较第二类方法稍嫌繁杂.

通过例1、例2的分析，可以发现一元二次不等式在R上恒成立，求参数取值范围的题型我们可以优先考虑用第一类方法来解决，这样一般计算量较少，分析较为简单；而一元二次不等式在指定区间上恒成立，求参数取值范围的题型我们则可以优先考虑用第二类方法来解决会较为简便.当然，这也不是一成不变的.

在平时课堂中，作为教师要多给学生机会独立思考，独立做题，培养学生独立反思的能力，增强学生数学语言的理解能力、数形结合能力、逻辑分析能力、方法筛选能力，让学生不仅获得某种题型的解决方法，更是获得解决问题的一种思维方式.