三角函数中诸多公式的归纳记忆

徐长溉

三角函数是数学课程中比较重要的一个组成部分，也是应用数学中必不可缺的基础知识.凡是学习过三角函数的人无不对诸多的三角函数中的公式所迷茫或困惑.因此，学习好三角函数和熟记三角函数中的公式是密不可分的.三角函数中的公式有几十个之多，彼此之间又有着千丝万缕的牵连与差别，倘若我们泛泛地加以记忆确实有点强人所难，力不从心.如果能借助直观的图形或者是简单的口诀解释理解，并加以归纳整理，找出规律，增加记忆深度，将是我们所要探讨的课题和所要达到的目的所在.下面我们就三角函数诸多公式中的一小部分加以归类并介绍几种简单的记忆方法.

一、图形映记法

在讲解同角三角函数的时候，就遇到了同角三角函数之间的函数关系了，即正弦函数sinA，余弦函数cosA，正切函数tanA，余切函数cotA，正割函数secA，余割函数cscA之间的关系.它们之间的关系怎么能比较清楚简洁地记忆呢？我们不妨借助一个正六边形来加以辅助记忆.在正六边形的左上角记上正弦函数sinA，右上角记余弦函数cosA，中间左边记正切函数tanA，中间右边的角记余切函数cotA，左下角记正割函数secA，右下角记余割函数cscA.这样六个角就对应了六个三角函数.然后在六边形的中心点画一个圈，分别与六个角连线，圈的里面写个数字“1”.这样一个大的六边形就被分成了六个小的等边三角形了.其中有三个是“正”三角形（就是一个尖在上面的）.三个是“倒”三角形（就是一个尖在下面的）.把三个倒三角形涂上阴影，用以表示面积所用.因为面积我们都习惯用平方来表示.所以公式中出现平方的时候就要用到用以表示面积的部分来表达了.这样的准备工作做好了之后，就可以借助这个六边形对同角三角函数之间的关系来记忆了.首先是对角之积为“1”.即正弦函数与余割函数之积为1，sinA·cscA=1；余弦函数与正割函数之积为1，cosA·secA=1；正切函数与余切函数之积为1，tanA·cotA=1.其次是商的关系.以中间的正切函数和余切函数为中心，正切函数上下分别往右，左边的函数除以右边的函数就等于正切函数，tanA=sinA[]cosA=secA[]cscA.以余切函数为中心，余切函数上下分别往左，右边的函数除以左边的函数就等于余切函数，cotA=cosA[]sinA=cscA[]secA.再者就是平方和关系.三个倒三角上面的两个顶角的平方和等于底角的平方.即正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1的平方，sin2A+cos2A=1；正切函数的平方加上1的平方等于正割函数的平方，tan2A+1=sec2A；1的平方加上余切函数的平方等于余割函数的平方，1+cot2A=csc2A.由此，我们只要在脑海里印记了一个正六边形，同角三角函数之间的所有关系也就相应地映记在脑海里了.

二、口诀解释法

在讲解三角函数诱导公式的时候，九组三十六个诱导公式单独的记忆就有一定的难度.那么我们归纳分析后可以看出，凡是诱导公式中括号里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之类的角）所落在坐标轴的位置不同，等号后面的三角函数与等号前面的三角函数的名称有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何规律呢？而等号后面的正负符号也不尽相同.这又有何规律呢？通过观察、归纳，我们可以简单的用两句话、十个字来佐以记忆.这就是“纵变横不变，正负看象限”.那么，这十个字、两句话怎么理解就显得尤为重要了.首先，什么叫纵，什么叫横？就是定角所落在坐标轴的位置，如果定角落在坐标轴的横轴上，就叫做横，如π或者2π的终边就落在了横轴上了，所以就叫做横了.同理可知纵.那什么叫变和不变呢？就是等号左右的三角函数名称变和不变.“纵变横不变”就是指的是如果定角的终边落在了坐标轴的横轴上了，那等号两边的三角函数的名称就不变，如果定角的终边落在了坐标轴的纵轴上了，那等号两边的三角函数的名称就改变.那变和不变，怎么变，怎么不变呢？变就是等号左边的要是正弦函数，那等号右边就是余弦函数，等号左边是正切函数，那等号右边就是余切函数了.这就是纵变横不变的解释理解.所以我们先要观察定角终边落在坐标轴的什么轴上，然后根据口诀就知道等号左右的三角函数名称是否改变了.其次是“正负看象限”.正负指的是等号右边三角函数前面的正负符号.看象限是看谁的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.这里A虽然是任意角，但我们仍然要把这个任意角A看成是一个锐角.这里特别要强调的是“看成”.任意角就是任意角，无论是什么角，我们况且都可以把它先看成是锐角.这样，一个定角和一个锐角所在的象限就确定了.那么这个角和等号左边的三角函数所在的象限的三角函数符号就能确定了.所以等号右边的正负符号就由此来确定了.那么这样，等号左边的三角函数和括号里的定角与任意角的和或者差的诱导公式就可以由前面的“纵变横不变，正负看象限”得到等号右边的一个任意角的三角函数值了.这样，我们只要能记住理解这两句话.十个字就可以把三十六个诱导公式熟练的记住了.比如我们要求：cot（π-A）=？首先我们来确定定角π的终边所落的坐标轴是在横轴上了，由“纵变横不变，正负看象限”，那么我们就可以判定等号右边的三角函数的名称没变，即左边是余切函数cot（π-A），那右边也一定是余切函数cotA.再者我们来判断等号右边的正负符号，我们看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限内余切函数是负值，所以等号右边就应该是负号了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位记忆法

定位法就是先将我们要熟记的公式模式定位.比如，我们要熟记和差化积的公式.如：

首先将sinA+sinB，sinA-sinB，cosA+cosB，cosA-cosB竖列定位.然后我们再依次在等号的右边把2sincos，2cossin，2coscos， 2sinsin加以定位.这样我们就可以永久的记住它们之间的排列对应关系了.然后再来定位角的关系.等号左边都是一样的两个角A，B，等号右边也都是两个角的和及两个角的差的二分之一A+B[]2，A-B[]2.按照定位的方法依次嵌入等号右边两个对应的函数之内，最后我们再记忆符号，前三个都是正号，只有最后一个是负号.这样我们对和差化积的公式有较深的记忆印象了.记住这个对应关系后，我们反过来就可以记忆积化和差的公式了.

由此我们可以看出函数的排列顺序和对应关系没变，符号没变，只有对应的数字和角之间的关系有了一点点的变化.这样对于和差化积、积化和差的三角变换公式就有了较为明晰的记忆效果了.

综上所述，三角函数中的公式虽然繁杂，但我们只要能采用切合实际、直观有效、简单易行的借助记忆形式就能从中找到较为简洁的记忆方法，从而就能深刻熟记和掌握其中的变化规律.得一点津，受用终生.当然，记忆方法远远不止于这点点滴滴，这只是浩瀚大海中的一滴水，实践中还能探索到更多的简洁实用的记忆方法.热诚期盼有识之士有更多的灵招妙法呈现于世，使三角函数的学习有一个捷径之梯.本人不才，所错难免，望同行赐教共勉.