谈一元二次方程的求解方法

成江

一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容，方程思想也是学习数学的一种重要思想. 一元二次方程的解法以一元一次方程为基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次变为两个一元一次方程再求解. 一元二次方程的一般形式为ax2 + bx + c = 0，特点是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程，如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再进行判断. 一元二次方程的基本解法有四种：1. 直接开平方法；2. 配方法；3. 公式法；4. 因式分解法. 下面我们将举例分析这四种方法的运用.

例1 用直接开方法解下面的一元二次方程.

（1）（3x + 1）2 = 9；（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

分析 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法. 用直接开平方法解形如（x - m）2 = n（n ≥ 0）的方程，就可以把方程变为x - m = ±■. 通过观察可以发现（1）、（2）两个小题可以用直接开方法来求解. 第（3）题方程左边是个完全平方的展开式，可以把左边变为平方的形式再使用直接开方法. 第（4）小题的方程左边是平方差的展开式，可以把常数项移到方程右边再求解.

解 （1）（3x + 1）2 = 9.

直接两边开方，得：3x + 1 = ±3.（注意，不能漏了-3）.

由3x + 1 = 3得x1 =■，由3x + 1 = -3得x2 = -■，

∴原方程的解为：x1 = ■，x2 = -■.

（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

3x - 2 = x + 4或3x - 2 = -（x + 4）.由3x - 2 = x + 4得x1 = 3，由3x - 2 = -（x + 4）得x2 = -■，

∴原方程的解为：x1 = 3，x2 = -■.

说明 用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解.

例2 用配方法解下列一元二次方程.

（1）2x2 - 4x - 2 = 0；（2）3x2 - 4x - 2 = 0.

分析 用配方法解方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），应先将二次项系数化为1，常数a移到方程右边，再将方程左边配成完全平方的形式. 第（1）题可变为x2 - 2x = 1，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方. 配方之后，就可以按照直接开方法来解方程了.

解 （1）2x2 - 4x - 2 = 0.

二次项系数化为1，移常数项，得：x2 - 2x = 1.

配方，得：x2 - 2x + 12 = 1 + 12，即（x - 1）2 = 2.

说明 在使用配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 最后变为一边是完全平方的形式就可以用直接开方法进行解题.

例3 用公式法解3x2 + 4 = 7x.

分析 用公式法就是指利用求根公式x = ■，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，确定a，b，c的值，然后代入到公式中进行计算. 或者也可以先计算b2 - 4ac的值，当b2 - 4ac≥ 0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根.

先判断解的情况之后，如果Δ < 0，那么可以直接省去更多的运算，方程无解.

解 化为一般式：3x2 - 7x + 4 = 0，求出判别式的值：Δ = b2 - 4ac = 1 > 0，代入求根公式：x = ■，∴ x1 = ■， x2 = 1.

说明 公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果对其他方法不熟悉的情况下，都可以使用公式法来解一元二次方程，因此，这个公式一定要熟记. 用公式法一定要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算. 注意最后的根如果有根号要化成最简形式. 例4 用分解因式法解6x2 + x - 15 = 0.

分析 分解因式法就是把方程的一边变为因式相乘的形式，另外一边的值为0，解题的方法就是让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根. 第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题要先整理成一般形式再进行分解因式.

解 左边分解成两个因式的积得：（2x- 3）（3x + 5） = 0.

∴ 2x- 3 = 0，3x + 5 = 0，∴ x1 = ■， x2 = -■.

说明 在使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能把方程拆为两个一元一次方程达到降次的目的.

从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是用各种方法把二次降为一次，向一元一次方程转化，转化的方法主要为直接开方法，配方后再直接开方，因式分解并使另一边的值为0，或者直接利用公式法求解.

另外，在解一元二次方程时，要先进行观察，如果可以使用直接开放或者因式分解等方法，要尽量使用，这样可以减少运算量，降低出错率，找不到简便方法的时候，才使用公式法进行解题.