论析三角函数典型错解问题

齐志华

【摘要】三角函数作为数学的重要章节，多年来，很多学生在解题时往往考虑不周，过程及结果看似正确，实质错误，极易麻痹人.下面仅以几例作以剖析，望广大师生引起注意.

【关键词】三角函数；错解；分析

1.忽略另外情况

例1 已知函数f（x）=asinx+b的最大值为3，最小值为2.求a，b的值.

错解 因为sinx的最大值为1， 最小值为-1 ，所以a+b=3，且-a+b=2，所以a=12， b=52.

分析 上述为a>0时的情况，忽略了当a<0时，-a+b=3，且a+b=2，得a=-12， b=52.

2.忽略隐藏条件

例2 在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1.求角C 的值.

错解 把已知的两个条件分别两边平方后，化简再相加，整理得sin（A+B）=12，所以sinC=12，所以C=π6或5π6.

分析 若C=5π6 ， 则A+B=π6， 又因为1-3cosA=4sinB>0， 所以cosA<13.

而13< 12，所以A>π3，所以C≠5π6.显然条件cosA<13 比较隐藏.3.忽略角的范围

例3 设方程x2+33x+4=0的两根为x1和x2 ， 且α=arctanx1，

β=arctanx2. 求α+β的值.

错解 由已知得x1+x2=-33， x1x2=4， 且x1=tanα，x2=tanβ.

故tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=x1+x21-x1x2=3.因此α+β=π3.

分析 此题忽略了α，β的范围.事实上，由x1+x2 <0， x1x2>0，知x1 <0，x2<0，所以α，β∈-π2，0，从而α+β∈（-π，0），所以α+β=-2π3.

4.忽略应用公式的前提条件

例4 求函数y=（sin2x +1）（cos2x+2）的最大值.

错解 [HT]因为（sin2x +1）（cos2x+2）≤sin2x+1+cos2x+222=4，所以y≤4， 所以y的最大值为4.

分析 这里忽略了均值定理等号成立的条件，实际上sin2x+1≠cos2x+2，并不是恒相等，所以不能应用均值定理做.

正解 y=（sin2x+1）（3-sin2x）= -（sin2x-1）2 +4，故当sinx=±1时，y的最大值是4.

5.忽略函数的定义域

例5 求函数y=sinxcosxsinx+cosx+1 的值域.

错解 令sinx+cosx=2sinx+π4=m，m∈＼[-2，2＼] ，有2sinxcosx=m2-1，

于是y=12（m2-1）m+1=12（m-1）.所以y∈-22-12，22-12.

分析 此题忽略了原函数的定义域是sinx+cosx≠-1，即m≠-1.故m∈-2，-1）∪（-1， 2 .

可求得y∈-22-12，-1 ∪-1， 22-12.

6.忽略三角形性质

例6 在△ABC中，cosA=35，sinB=513，求cosC的值.

错解 [HT]由cosA=35，得A∈0，π2，且sinA=45.

由sinB=513，得B∈（0，π），且cosB=±1213.

因此cosC=cos＼[π-（A+B）＼]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-1665或5665.

分析 若B∈π2，π，则π-B∈0，π2.由sin（π-B）=sinB=513<45=sinA，

得π-Bπ，错误.

所以B∈0，π2，cosB=1213，求得cosC=-1665.

7.忽略复合函数

例7 先将函数y=sin2x的图像向右平移π3个单位长度，再将所得图像作y轴的对称变换，求所得的函数图像解析式.

错解 很多学生回答所得的函数图像解析式是y=sin-2x-π3.

分析 将函数y=sin2x的图像向右平移π3个单位长度，写成了y=sin2x-π3，

这明显是不对的.主要是忽略了y=sin2x是复合函数，它与y=sinx的

横坐标变化是2倍关系，因此平移与x的系数有着直接的变化关系.正解是 y=sin-2x-2π3.另外判断三角函数单调性时也要注意复合函数的问题.