基于APOS理论下“直线与平面平行”的教学设计

彭春莲

一、APOS理论简介

APOS理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论，APOS是英文单词action（活动）、process（过程）、object（对象）、scheme（图式）的第一个字母的组合，表示概念学习过程的每一个阶段.

二、基于APOS理论下“直线与平面平行”的教学设计

学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用APOS理论引导发现，激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程.本节内容与学生学习的生活联系紧密，学习时，一方面引导学生从实际生活出发，把知识与周围的事物联系起来；另一方面，引导学生从现实的生活中抽象出空间图形，注重引导学生通过观察、操作、思考和推理等活动，引导学生借助图形直观来探索直线、平面平行的性质及其证明.

（一）活动阶段

通过实例让学生对直线和平面平行在现实生活中的应用有个感性认识.

1.创设情景，提出问题

利用幻灯片给出熟悉的图片：（1）运动场上的跑道；（2）学校的旗杆；（3）运动场上的单杠.观察它们和平面的关系.

点评 学生在学习新的数学概念的时候，新的信息对学生来讲基本上是陌生的、零碎的和彼此孤立的，需要教师选择能作为新知识的生长点，将新知识的各因素联系起来，并以最好的方式呈现给学生，通过激发，激活学生头脑的旧知识，调动学生主动学习发现的心理倾向，使得学生对新知识内容先有个感性认识.

（二）过程阶段

通过分析实例，把具体实例抽象成数学问题，具体到普遍性，引导学生对直线和平面平行由感性认识升华到对数学理论知识的理解.

2.观察归纳，形成新知

把地面抽象成平面，把“跑道”“旗杆”“单杠”抽象成直线，观察直线与平面的交点个数.从直线和平面的公共点个数归纳出直线和平面有三种位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.用图形语言和符号语言来表示直线和平面平行的三种位置关系.

点评 教师通过实际例子抽象成数学问题（数形结合问题），引发学生思考，将学生带入发现新概念的最近发展区，使他们对直线和平面平行的定义有个粗略的认识，为下一步介绍直线和平面平行的判定埋下伏笔.

（三）对象阶段

通过数形结合，逐层剖析直线和平面平行的定义，让学生从图形上记忆理解直线和平面平行的定义，从而达到真正认识直线和平面平行的实质是什么，为直线和平面平行的判定埋下伏笔.

我们把第三个问题抽象成数学问题就会得到直线和平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.下面证明之成立：

已知：lう粒琺鸡粒琹∥m，求证：l∥α.

证明 （用反证法）假设l不平行于平面α，则l∩α=P，如果点P∈m，则与已知条件l∥m矛盾；如果点p黰，则l和m成异面直线，这也与已知条件l∥m矛盾.

上面定理可以简称为：线线平行，则线面平行.

3.概念辨析，巩固练习

设计意图：帮助学生加深对直线和平面平行判定定理的理解.得到满足的三个条件缺一不可.

练习：

已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD.

师：要证明EF∥平面BCD，只需要证明什么就可以了呢？生：只需要证明EF和平面BCD内的一条直线平行就可以了.师：依据是什么？生：线面平行的判定定理.师：能找到这条线了吗？生：可以，线EF就是.师：为什么？生：因为E，F分别为AB，AD的中点，由中位线的性质可得.师：要用上这个定理，还需要说明什么？生：要说明线EF是面外的线.师：能否把这个证明过程写出来？生：可以.∵E，F为AB，AD的中点，∴EFっ鍮CD且EF∥BD，又BD济鍮CD，故EF∥平面BCD.

点评 通过一问一答的形式激发学生加深对直线与平面平行的判定的初步认识，培养他们新知识的发现能力.

（四）图式阶段

通过前三个阶段，学生对直线和平面平行有了一定的理解；本阶段即让学生知道本课主要学习内容是什么，如何应用来解决实际问题，这节课我们学到了哪些知识.

应用：如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′B′C′D′.

（1）要经过面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？

（2）所画的线和平面ABCD是什么位置关系？

解 略.

点评 本例题是一道实际生活应用题，通过本题可以让学生体会到数学知识在实践中的应用的优越，达到培养学生数学知识的应用能力，激发学生学习数学的兴趣.

（五）课堂小结，完善认知

本课有何收获？学习了直线和平面平行的性质定理由“线面平行”荨跋呦咂叫小保判定定理是由“线线平行”荨跋呙嫫叫小.

（六）教学反思

教师指导学生反思：我们本堂课主要学习了什么内容？体现了数学的什么思想？运用直线与平面平行可以解决什么样的实际问题？有什么收获？

点评 通过师生共同反思，其目的是为了更好地促进新旧知识之间的联系，使得新知识与学生头脑中原有的旧知识建立逻辑性的稳固联系，从而形成新的认知结构.学生通过反思，不仅可以梳理在学习过程中对概念的理解程度，还可以评价自己在认知加工过程中所闪现出的思维火花.