求取值范围问题中构造不等式(组)的常用方法

徐励

摘要： 本文列举了多种构造不等式（组）的常用方法，如利用三角函数的单调性、判别式、平几知识、恒成立条件、数形结合、函数值域、圆锥曲线的几何性质和定义、均值定理等.

关键词： 求取值范围问题构造不等式（组）解题方法

求取值范围问题，是中学数学教学的难点，难因有二：一是如何建立或构造不等式（组），二是如何求解不等式（组）.由于这类问题涉及中学数学的许多知识与方法，交汇性强，能考查学生的综合能力，因而是历年高考的热点之一.纵观历年高考题，求取值范围问题，一般都需要通过解不等式（组）来解决问题，而在题目没有给出明确的不等式（组）时，就需要挖掘题意，转化已知条件，构造或建立不等式（组），常用的方法有如下几种.

一、利用三角函数值的符号或三角函数的单调性构造不等式（组）

例1（07年高考广东卷理16）. 已知△ABC顶点直角坐标分别为A（3,4）,B（0,0）,C（c,0）,（1）略；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

解析：∵=（-3，-4），=（c-3，-4），

又∵∠A是钝角

∴cos∠A=＜0

∴-3c+9+16＜0c≠0

解得c＞

∴c的取值范围是（，+∞）.

二、利用判别式或判别式与一元二次方程根的分布情况构造不等式（组）

例2（09年高考全国卷一理21）．如图，已知抛物线E：y=x与圆M：（x-4）+y=r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点.

（I）求r的取值范围；

（II）（略）.

解析：将抛物线E:y=x与圆M:（x-4）+y=r（r＞0）的方程联立，消去y，整理得 x-7x+16-r=0……………（＊）

抛物线E:y=x与圆M:（x-4）+y=r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根.

∴49-4（16-r）＞016-r＞0

∴r∈（，4）.

三、利用平面几何知识构造不等式（组）

例3（08年高考福建卷理14）.若直线3x+4y+m=0与圆x=1+cosθy=-2+sinθ（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.

解析：将x=1+cosθy=-2+sinθ化为标准方程，得（x-1）+（y+2）=1

∵直线3x+4y+m=0与圆没有公共点

∴＞1

∴|m-5|＞ 5

∴m＞10或 m＜0

∴实数m的取值范围是（-∞,0）∪（10,+∞）.

四、由恒成立条件构造不等式（组）

例4（０９高考全国卷二文２２）. 设函数f（x）=x-（1-a）x+4ax+24a，其中常数a＞1,

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;

（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围.

解析：（I）（略）

（II）由（I）知，当≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值.

f（2a）=（2a）-（1+a）（2a）+4a·2a+24a

=-a+4a+24a

f（0）=24a

∵ｘ≥０时，f（x） ＞0恒成立

∴ｘ≥０，f（x） ＞0成立

a＞1f（2a）＞0f（0）＞0，即a＞1-a（a+3）（a-6）＞0,24a＞0.

解得1＜a＜6.

故a的取值范围是（1，6）.

五、利用数形结合构造不等式（组）

例5（08年高考江西卷理7）. 已知F、F是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

A．（0,1）B．（0,］C．（0,）D．［,1）

解析：由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

c＜b?圯c＜b=a-c?圯e＜

又e∈（0,1）,所以e∈（0,）.

六、利用函数的单调性构造不等式（组）

例6（09高考江西卷文17）．设函数f（x）=x-x+6x-a.

（1）略

（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析：∵f′（x）=3x-9x+6=3（x-1）（x-2）,

∴当x＜1时,f′（x）＞0;当1＜x＜2时, f′（x）＜0;当x＞2时, f′（x）＞0.

∴当x=1时,f（x）取极大值f（1）=-a;

当x=2时,f（x）取极小值f（2）=2-a.

故当f（2）＞0或f（1）＜0时,方程f（x）=0仅有一个实根.

即2-×2+6×2-a＞0或1-×1+6×1-a＜0

解得a＜2或a＞.

七、利用函数值域构造不等式（组）

例7（09高考福建卷理14）.若曲线f（x）=ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是?摇 ?摇.

解析：由题意可知f′（x）=2ax+，又因为存在垂直于y轴的切线，

∴2ax+=0（x＞0）有实根

∴a=-（x＞0）

又∵x＞0

∴-＜0

∴a＜0，即实数a的取值范围是（-∞,0）.

八、利用圆锥曲线的几何性质构造不等式（组）

例8（09高考重庆卷文15）.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F（-c,0），F（c,0），若椭圆上存在一点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为．

解析：因为在△PFF中，由正弦定理得=.

则由已知，得=，即PF=PF.

由椭圆的定义知：

PF+PF=2a，则PF+PF=2a,即PF=,

由椭圆的几何性质知: PF＜a+c,则＜a+c,即c+2c-a＞0,

所以e+2e-1＞0,解得e＜--1或e＜-1，又e∈（0,1），

故椭圆的离心率e∈（-1,1）.

九、利用圆锥曲线的定义构造不等式（组）

例9.在平面直角坐标系中，若方程m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）所表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是?摇?摇.

解析： ∵ m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）

∴x+（y+1）=×

∴==e＜1

∴m＞5

十、利用均值定理构造不等式（组）

例10.已知抛物线y=x上三点A、B、C,且A（-1,1），AB⊥BC,当点B移动时，求点C的横坐标的取值范围.

解析：设B（a,a）,C（b，b）

∵AB⊥BC

∴KK=-1

∴b=-a+=1-a+-1

由均值定理，得

a＜1b=1-a+-1≥2-1=1 或

a＞1b=1-a+-1=-［（a-1）+］-1≤-2-1=-3

∴b≥1或b≤-3.