Boussinesq方程在工程建成后波浪增水及近岸流变化研究中的应用

杜冰茹 朱良生

摘要：本文从完全非线性的Boussinesq方程出发，首先，对Kirby等（1998）建立的基于高阶非线性Boussinesq方程的数学模型进行测试验证，验证结果表明由Boussinesq方程建立的非线性波模型具有较高的精度，可有效模拟近岸波浪变形及破碎过程。然后将该模型应用于实际工程，模拟工程前后的波浪变化过程，模型很好的反应了波浪传播过程中的反射、折射、绕射、破碎、波生流以及增减水现象，最后，对工程前后模型结果进行对比分析，反应出实际工程导致增水和沿岸流的显著变化。而目前工程设计中设计水位没有考虑工程建成后设计水位的变化，这会对海工建筑物及保护区造成致命性的破坏。因此工程设计水位需考虑工程建成后设计水位的变化。

关键词：Boussinesq 方程；破碎波；增水；爬高；折射

Abstract: This article begins with the fully nonlinear Boussinesq equations. Firstly, several example calculations are used to validate the nonlinear wave model which is based on the higher order nonlinear Boussinesq equations. Comparisons show that numerical results agree with experimental data with a higher accuracy. So it indicated that the nonlinear model can effectively simulate the Coastal wave propagation. Secondly, the model is applied to a coastal engineering and simulates the different wave propagation in the process of reflection, refraction, diffraction, breaking and the set-up before and after the establishment of project. Finally, the results are compared and analyzed. The study shows that the coastal engineering makes the water level and current change significantly. However the changes of the design water level which will cause fatal damage to the coastal engineering and the conservation areas after the completion of the coastal engineering is not considered in the current design standards. So it is important to consider the influence of the coastal engineering on the water level.

Key words: Boussinesq equations;Breaking wave;Setup; Run-up;Refraction

基于Boussinesq 方程建立的非线性波模型，可用于模拟近岸各种波浪传播现象，包括浅水变形、全部或部分反射、绕射、折射、底部摩擦、非线性波-波相互作用、波浪破碎与耗散，越浪和爬高、波流相互作用以及波浪引起的潮流现象。 自20世纪80年代以来，Boussinesq方程的研究取得了极大的进展，Boussinesq类波浪模型的应用也日益广泛。很多学者提出各种各样的改进型Boussinesq方程，主要体现在改变方程的频散性和非线性以及考虑复杂地形作用、波浪破碎、水流的影响等方面。目前Boussinesq方程在相对水深达1.0强色散波浪时仍保持较高的准确性，并且方程的非线性和线性变浅率都得到了不同程度的改善。

尽管改进型Boussinesq方程扩大了方程的适用范围，得到了越来越广泛的应用，但仍存在一些亟待改进的问题：① Boussinesq模型目前仅适用于一个波长范围内的水深，这对实际工程应用有一定局限性，在色散性上需进一步探索。② 考虑到其适用范围的局限性，需要与SWAN、STWAVE、Mike21等近海风浪模型建立耦合模型，发挥各模型的优势，使其能更好地模拟近海大范围的波浪演变过程。

在工程应用方面，Abbott等[1]首先Boussinesq模型应用于较大区域进行数值计算并研究了港口内不规则波的波浪运动。Yoon[2]研究了波流相互作用；Schaffer等[3]研究了规则波的破碎，还研究了不规则波的近岸环流现象；Rakha和Kampuis 利用Boussinesq模型研究了海岸演变；Fuhrman等研究了深水强非线性短峰波。Boussinesq模型与RANS方程耦合求解，可以处理复杂的波浪与结构物相互作用的问题。

Boussinesq模型广泛应用于近海工程的设计研究中，但是研究近海工程对各种设计波要素、水位、水流的变化还是比较少。徐芳，杨胜发等人研究码头工程对山区河道水位的影响，得出了计算码头工程相对最大水位雍高值关系式，为山区河道码头工程建设管理和设计提供参考。郁微微等人研究深水航道工程对长江口流场的影响，表明工程对长江口水位的影响较小而对流速的影响较大。随着水运建设的蓬勃发展，港口码头的建设也日益增长，码头、防波堤、深水航道等建筑物改变水深条件，必将导致水位和水流特性变化。不同的码头防波堤布置类型和布置形式直接影响工程海域的水位和水流特性，是港口码头工程能否修建的重要前提，对其进行研究具有重要的理论和实际意义。目前国内外在工程设计水位时没有考虑工程建成后设计水位的变化，这会对建筑物及保护区造成致命性的破坏。考虑海工建筑物对设计水位的影响，对指导近海工程项目的建设有着实际需要。

本文将完全非线性的Boussinesq模型结合工程实际，模拟工程前后水位和水流的变化情况，并对海工建筑物的设计提出建议。

1理论模式

本文采用Nwogu(1996)[4]格式的完全非线性Boussinesq 方程。该方程既适用于过渡水深，又可用于波浪的强非线性相互作用。方程表达式如下：（1）

是时间的函数 。体积通量密度 表达式如下：

在求解完全非线性Boussinesq方程时，为了消除比非线性和色散项更高阶的误差，在时间步上采用Adams-Bashforth-Moulten 复合格式，即在预测阶段采用三阶 Adams-Bashforth 格式，而在校正阶段采用四阶Adams-Moulten 格式。一阶空间导数项的离散采用五点差分公式 Standard Five-point Finite-differencing，截断误差为四阶，这样在解非线性浅水波方程中产生的误差在空间和时间步长上就减小到四阶。二阶空间导数采用三点差分公式。高阶色散项的空间和时间的差分取二阶精度，这将再一次减小截断误差，使截断误差小于这些高阶色散项本身的大小。

2模型验证

为了研究不规则波的浅水作用和破碎等特性，本文采用Mase和Kirby（1992）[5]经典实验地形进行验证。图1显示该实验地形和装置。通过左边的造波器产生一组峰频率为1.0 Hz的不规则波，先通再沿斜坡传播。从斜坡角端开始，沿斜坡面分别布置11个测波仪，各个位置对应的水深为：h=47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5 cm。该组不规则波将传播12分钟，各个位置的测波仪将同时收集到随时间变化的波面值η。

该一维模型用于模拟波浪传播。在这里将给出模型结果并与实验数据作比较。峰频为1.0 Hz的不规则波，它的弥散系数kh为2，这将超出标准（经典）Boussinesq方程的有效范围。然而，以下可见，扩展型Boussinesq方程可适用于这种情况，并且模拟结果和实验结果比较吻合。

利用渗透海床的方法处理海岸的边界问题。在计算域的两端增加海绵层（消浪层）来吸收波能。初始波场η、u、v的初始值都被设为零。

图2显示在水深h=35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5 cm处10个测波仪测量得到的随时间变化的波面数据η实验结果（实线）与模型结果（虚线）比较图。可看出，除了波相位和波高有一些小差别，该模型所模拟的波浪浅水作用和破碎过程和实验结果十分吻合（大部分波在水深为15 cm处开始破碎。

3模型应用

本文尝试将基于完全非线性的Boussinesq方程模型应用于实际工程地形，模拟自然条件下和加入防波堤工程后，不规则波在近岸地区的折射、绕射、破碎、波生流的情况。图3为工程区域的地形和网格图，位于揭阳市惠来县附近的近岸地区。采用3 8 1 0 m×4 560 m的矩形区域作为计算域，计算网格步长 ，时间步长

，计算总时间1 500 s。图3~4表示水深分布图，如图所示，在计算区域最右端开边界上造波，入射波采用JONSWAP型波谱，有效波高为5 m，入射波向为112o，谱峰周期为15 s，最小周期为7.16 s，最大周期为25 s,水位取设计高潮位1.83 m。造波板的位置要基本于等深线平行，与造波板相连的上下开边界上设置消波海绵层，阻尼系数取1.0，海绵层宽度为40 m，即波浪能量在这宽度内消散为零。陆地边界也设置海绵层，阻尼系数为0.1，海绵层宽度为20 m，反射系数为50%。图5表示自然条件下，在整个计算域波面稳定的情况下的波高分布情况，底部表示海底地形。

由图5可见，波浪在向岸边传播过程中，随着水深变浅，波向不断地趋向与等深线垂直，波浪在岸边发生部分反射和破碎现象，进一步验证了模型的可靠性。图6表示有效波高和由波浪破碎产生的沿岸流和离岸流情况。表明波浪破碎主要发生在近岸区域，产生的沿岸流和离岸流对泥沙的搬运起主要作用。图7表示计算时段内，增减水的平均分布图和破碎点位置图。由图可见，波浪向岸传播的过程中，由于水深减小，发生浅水变形，引起波高增大，最终发生破碎，破碎点位置大致如图7所示；波浪破碎后，波高衰减。由于浅水变形和波浪破碎引起波高的变化，进而造成波浪辐射应力的沿程变化，进而引起时均水面的变化，即波浪增减水。波浪向岸传播过程中，先发生减水，直到波浪破碎后，发生增水。图中最大增水为0.21 m，可见波浪辐射应力对水位的影响不容忽视。由于建立防波堤或其他工程后，将会改变波浪破碎位置，导致在水位的变化，变化的幅度可能对工程造成致命的影响，所以工程的建立必须考虑工程对增减水的影响，确保工程的安全性。

下面考虑在该地区建立一个渔港，渔港大小为1.2 km×1.2 km。防波堤和渔港平面布置如图7所示。防波堤长度1 km，宽度50 m，反射系数为50%，采用同样的入射波条件，模拟渔港内的波高和增减水情况。图8表示波况稳定下的3维波高分布情况，由图可见，波浪传播到防波堤位置，绕过防波堤往里传播，形成以防波堤堤趾为圆心的波峰线，港池内波高基本减小到0.2 m左右，可见，防波堤起到了很好的掩护效果。在防波堤外侧发生部分反射，与入射波叠加，波高变大，波浪发生破碎，波面比较紊乱。图9表示建立防波堤后的有效波高和波生流分布图。可见，在防波堤外侧波高变大，并发生破碎，因此产生沿堤边的沿岸流和离岸流。在平行于造波板的堤身段，波高明显变大，达到8 m，这对防波堤有严重的破坏性。图10表示建立防波堤后，计算时段内的增减水平均分布。由图可见，在防波堤与陆地相连的部位，增水达到0.48 m，这是由于防波堤导致波浪辐射应力发生变化，从而引起增水，而目前工程设计中设计水位没有考虑工程建成后设计水位的变化，该增水幅度对防波堤很可能带来致命性的毁坏。所以建设各种海工建筑物，都应该在原来的设计标准上考虑加入工程后，工程对水位和波高的影响，对水位和波高增加的部位需提高设计参数。

4结语

本文对基于完全非线性Boussinesq方程的波浪模型进行验证，并应用于近海工程，可得到以下结论：

1）基于Boussinesq 方程建立的非线性波模型，可用于模拟近岸各种波浪传播现象，包括浅水变形、全部或部分反射、绕射、折射、底部摩擦、非线性波-波相互作用、波浪破碎与耗散，增减水、越浪和爬高、波流相互作用以及波浪引起的潮流现象。

2）利用Mase和Kirby（1992）经典实验地形进行验证，计算结果与实测数据相当吻合。

3）将该模型应用于近海工程区域，从模拟结果看，模型很好地反应波浪在向岸传播的过程中，发生了浅水变形、折射、反射、破碎、波生流以及增减水的各种现象。

4）波浪在向岸传播过程中，由于海工建筑物和地形影响，导致波浪辐射应力变化，从而产生明显的增水变化，而目前工程设计水位没有考虑工程建成后设计水位的变化。波浪增水变化可对海工建筑物造成致命性的破坏。因此工程设计，需考虑建工程对增水的影响，对水位增大的地方要提高设计参数。

参考文献

[1] Abbott M B，Petersen H M，Skovgaard O.On the numerical modeling of short waves in shallow water[J].Hydrali Res，1978，16(3)：173-203.

[2] Yoon S B，Liu P L.Interactions of currents and weakly nonlinear water waves in shallow water[J].Fluid Mech，1989，205：397-419.

[3] Schaffer H A，Madsen P A，Deigaard R.A Boussinesq model for waves breaking in shallow water[J].Coast Engrg，1993，20：185—202.

[4] Nwogu, O. and Demirbilek, Z. (2001). BOUSS-2D: A Boussinesq wave model for coastal regions and harbors, ERDC/CHL TR-01-25, U.S. Army Engineer Research and Development Center, Vicksburg, MS.

[5] Mase, H. and Kirby, J. T., 1992, Modified frequency domain KDV equation for random wave shoaling, Proc. 23d Intl. Conf. Coastal Engrg, Venice, 474-487, October