浅析物体在共点力作用下平衡的分析方法

王艳丽

摘 要 “物体的平衡”历年都是高考考查的重点，本文主要介绍几种常见物体在共点力下平衡的解题方法，以期能给教师在进行的习题教学时提供一些建议以及提高学生的解题能力。

关键词 共力点 平衡 分析方法

中图分类号：G633.7文献标识码：A

Analysis the Method of Problem-solving in the

Total of the Point Force Balance

WANG Yanli

(Science and Education Research Center, Southwest University, Chongqing 400715)

Abstract "The balance of the object" is the focus of College Entrance Examine in calendar year, this article introduces several common methods of Problem-solving in the total of the point force balance, to offer teachers some suggestions when teaching and improve students' ability of problem-solving.

Key words total power point; balance; analysis method

平衡，是指物体处于静止或匀速直线运动状态。物体处于平衡状态，则物体不受力或所受合外力为零。而物体不受力在现实中是不存在的，则必然所受合外力为零。本文从两种模型出发，介绍几种常见物体在共点力下平衡的解题方法。

1 单个物体模型

对单个物体的平衡，常用的方法是正交分解，但仅掌握这种方法是不够的，因为有时使用正交分解会将问题复杂化，求解三角函数方程组难度大。在处理物体的平衡，我们还可采取相似三角形法，拉密原理，力的合成法。下面将用具体的例题来解析这几种方法的使用。

[例]如图1所示，保持O点位置不变，改变OA的长度使A点逐渐上升至C点，在此过程中绳OA的拉力大小如何变化？

解析：这是一个动态平衡问题，电灯在三个共点力下处于平衡状态。

图1

1.1 正交分解法

如图1受力分析，设OB于竖直方向夹角为 ，则初态的平衡方程为：

=

=

当A点顺时针向上移动的过程中，T1 与T2 的大小均会变化，现取任一位置如图示，设此时绳OA与竖直方向的夹角为 ，则该状态下的平衡方程为：

=

=+

角不变， 角从90爸鸾ケ湮?埃对于前后两种状态下的平衡方程去计算比较绳OB与绳OA的拉力变化，解决这个三角函数方程组难度很大。此时转换一种思想，在转动的过程中物体受三个力处于平衡，那么这三个力的合力为零，则绳OB与绳OA的拉力的合力与重力等大反向。

1.2 力的合成法

在该题中，绳OB与绳OA的拉力的合力与重力等大反向，在力的合成实验中，绳的方向表示为力的方向，由此做出力的合成图，在转动过程中，绳OA的拉力T2 是先减小到 （ 为绳OB与竖直方向的夹角），然后增大，而绳OB的拉力T1 是一直在减小的。

图2

1.3 拉密原理

在解该题时，还可使用拉密原理，在绳OA顺时针转动且O点位置和绳OB不动的情况下，根据拉密原理可以列式为：

==

转动过程中（如图2）， 角由90爸鸾ピ龃螅（下转?63页）（上接第159页） 角由钝角逐渐减小至锐角， 角不变，则判断绳OA的拉力T2 应先减小再增大，而绳OB的拉力T1 则是一直减小。

通过这几种不同的解法发现在动态平衡的过程中，使用正交分解法会将问题复杂化，列出平衡方程后，在解平衡方程时难度很大，而使用力的合成法和拉密原理相对来说较为简单。其实在解决共点力平衡时，进行受力分析后，究竟是选取哪种解法去解题是有规律的。当该种平衡是处于动态平衡时，使用力的合成法和拉密原理相对来说较为简单的，而我们正交分解法多用于静态的处理，即只分析一个平衡状态。当然只分析一个平衡状态时物体的平衡，有时正交分解也不适用，此时我们不妨试试相似三角形法。

1.4 相似三角形法

通常我们寻找的是一个力的矢量三角形与一个结构(几何)三角形相似，那么各力与其对应边成比例。

[例] 一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角 （如图3）。

图3

解析：选取B球为研究对象，B球受到三个力的作用：自身重力G，弹簧的拉力T，环对B球的压力N，如图所示：

弹簧的拉力T与环对B球的压力N的合力必与重力G等大反向，则我们可以寻找到力的矢量三角形与几何三角形OAB相似，列出方程： ==

设AB的长度为，则弹簧的伸长为（），弹簧拉力 = （），OA的长度为R，代入到上式可以得到一个关于的方程。

=

解方程求的 =

OAB为等腰三角形，根据三角函数可以解出夹角 ，

=

2 连接体物理模型

连接体物理模型是力学中常见的模型，在连接体物理模型的分析时，常常会应用到“整体法与隔离法”这种思维模式。同时当连接体间的连接是刚性杆时，物体的平衡可以是简单的力平衡，还可以是力矩下的平衡，满足杠杆平衡条件 = 。现在不妨来验证下力矩平衡法的使用。

图4

[例] 一重横梁OB被细绳AB拉成水平，如图4所示，重物C可在横梁上移动。若保持OB梁的水平位置，问细绳AB上的拉力与重物C到O的距离x的关系。

解析：该模型可以是一个力矩下的平衡，则有：

=+

式中L为横梁的长度， 是绳AB与横梁的夹角，GA，GOB是常数。 =+ 是关于x的一次函数。

总而言之，物体的平衡是历年高考常考的热点与重点，在处理这类试题时，我们可以使用前面介绍的这几种方法：正交分解法、力的合成法、拉密原理、相似三角形法、力矩平衡法。

科技部科技基础性专项重大项目“中小学科学探究学习与创新人才培养机制实验研究”成果之一，项目编号：2009IM010300

参考文献

[1] 谢江湖.高考复习中“物体的平衡”类问题解析[J].考试周刊,2010.4.

[2] 张鹏飞.相似三角形法巧解物体的平衡问题[J].魅力中国,2009(10).

[3] 罗志文.谈高考中弹簧连物体的平衡问题[J].数理化解题研究,2002.12.