利用几何画板实现深度的教与学

孙磊

摘 要 基础教育课程改革要求大力推进信息技术与学科课程的整合，将几何画板运用到数学课堂教学中去是课程改革中的一项重要举措，对教师实现深度的教学和学生进行深度的学习起了重要的作用。从多个教学案例的对比中，不难看出几何画板有高效、动态、直观等优点，是教师实施探究性课程的有力工具；同时几何画板又是学生进行数学实验的重要手段，有助于学生开展深层次的学习。

关键词 几何画板 深度教学 深度学习

中图分类号：G424 文献标识码：A

Use Geometer's Sketchpad to Achieve the Depth of Teaching and Learning

SUN Lei

(Wuxi No.3 Senior High School, Wuxi, Jiangsu 214028)

Abstract Basic education curriculum reform requires to vigorously promote the integration of information technology and curriculum, use Geometer's Sketchpad in mathematics teaching is an important measure in the curriculum reform, to achieve the depth of teaching and student teachers in-depth learning played an importantrole. From the comparison of a number of teaching cases, it is easy to see that efficient, dynamic and intuitive advantages Geometer's Sketchpad is a powerful tool for teachers implement inquiry courses; Geometer's Sketchpad is an important means of students' mathematical experiments, help students to carry out deep-level learning.

Key words Geometer's Sketchpad; deep teaching; deep learning

《基础教育课程改革》中提出：“大力推进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动的教学方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”而几何画板作为一种开放性的数学教学工具，被教师们用来创造支持数学课程学习 ，是将信息技术有效整合到数学课堂中去的重要举措。有助于实现教师深度的教和学生深度的学。

1 利用几何画板使教师实现深度的教

如果说教学理念指导教学方法，那么教学方法就直接决定教学效果。教师们在追求教学效果的同时，更要关注教学方法是否与新课程的理念步调一致。

1.1 几何画板能有效提高探究的效率

深度教学是指教师在课堂上引导学生以主题探究而不是以知识的讲授为内容和任务的教学形式。然而在具体实施探究课时，最普遍的问题是“超时”,很多人把问题的出现都归咎于探究，甚至开始怀疑探究课的可行性。但笔者认为，探究本身并没有问题，问题在于实施探究的方式是否得当。

前不久，笔者听了两节抛物线的概念探究课，感触颇深。简述如下：

（1）给出抛物线的定义。平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，且不在直线上。其中点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

（2）提问：给定直线及定点，能否利用直尺和圆规找出符合条件的一个点？两个点？

学生通过思考给出了作图方案：①在定直线上任取一点；②过作的垂线；③连结，作线段的中垂线交于点，则点在抛物线上。

接下来有两种教法：

案例一、让学生尺规作图，不断重复上述过程，得到一系列符合条件的点，老师将学生的作品投影出来，然后用光滑的曲线将点连起来得到一条抛物线。整个过程耗时20分钟，学生手工作图并不精确，所以图形效果不理想，教学任务超时完成。

案例二、学生尺规做出第一个点后，老师用几何画板作出以上作图步骤，然后拖动点，点位置随之变化，保留点运动轨迹就是一条抛物线。整个过程5分钟便完成。学生既参与动手操作，又亲眼目睹一条抛物线是如何由一系列运动的点生成，学生兴致很高。因为时间充裕，老师进一步启发学生思考，抛物线的形状受哪些因素影响？学生猜想，可能与点相对于直线的位置有关。老师让学生用鼠标拖动点，通过观察发现，点在直线的哪一侧，决定了抛物线的开口方向，而点到直线的距离，决定了开口大小。这为以后引入焦准距，研究抛物线方程打好了基础。

数学教学是以数学思维活动为核心的教学，数学教学不是简单记忆和机械模仿，而是要揭示获取知识的思维过程，培养和发展学生的思维能力。长期为“应试”疲于奔命的一线教师，要提高探究式教学的实施水平不仅需要新理念的引领，更要掌握落实新理念的技能。

1.2 几何画板能有效提高探究的清晰度

在探究课程实施的过程中，教师的作用（下转第167页）（上接第148页）在于把对知识的理解作为一种中介传输给学生，通过恰当的教学方式把枯燥的概念清晰、快速地转换成学生易于理解的东西，并形成自己的见解，从而使他们不但善于吸收已有知识，更善于应用知识解决各种问题。基于这个目的，几何画板的适时使用可以起到不错的效果。

下面我们举一个例子：探究两个圆的位置关系。

从几何角度看，两个圆有相离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。

案例一、首先确定两个圆的圆心及半径，并将其放入坐标中；其次，分别写出两个圆的方程，再用消元法求解这两个方程组的根；最后根据分类讨论：当 ＞0时，有两个交点； 当= 0时，有一个交点；当 ＜0时，没有交点。这种方法虽然准确地求出了两圆的交点个数，但不能清晰地确定两圆的位置关系，没有交点是相离还是内含？只有一个交点是外切还是内切？

案例二、教师在黑板上画一个圆，再拿一个铁丝做成的圈，从很远处向这一个圆靠近，得出圆的五种位置关系。这种看似热闹的教学活动是片面的，甚至是漏洞百出的，我们要问，为什么不可以两个圆同时运动呢？两个圆的位置关系只和圆心距有关系吗？改变两个圆的半径大小能不能改变两个圆的位置关系？

案例三、用几何画板作出两个圆，让学生通过点击鼠标移动圆心、改变圆半径的大小来观察两圆的位置关系，然后分组讨论总结出规律；接下来显示网络线，读出两圆相交时的交点坐标，给出任意两圆的方程，组织学生思考如何求得两圆的交点坐标。

显而易见，案例三是一个干净利落的探究模式，几何画板作为教师引导学生探究数学的工具，充分挖掘几何图形中的实验因子，学生在实验中思考，在思考中发现，亲历知识的发现过程，无形中也培养了探究精神。

2 利用几何画板使学生实现深度的学

深度学习与那种只是机械地、被动地接受知识，孤立地存储信息的肤浅学习相比，强调了学习者积极主动的学习，批判性的学习。利用几何画板构建数学实验室，让学生通过实验验证数学结论，把枯燥的数学生动化，抽象的数学形象化，静止的数学运动化。同时在实验中让学生体验到探究性学习的乐趣，提高自学的能力，激发创新的热情。教科书上有很多让学生探究的开放式习题，最好的办法就是在数学实验室让学生自己实验探究。

如课本必修一33页的13题：已知一个函数的解析式为 = ，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中两个。这道题完全可以作为学生自主探究的学习素材，将学生分成几个学习小组思考问题结论，并且在微机室里，利用教师预先制作好的课件进行验证。由于这道题目的答案不唯一，定义域可以是一个区间也可以是多个区间的并，因此存在很大的讨论空间。可以组织小组之间交流研究成果，并且互相质疑讨论，让学生进行思维碰撞，实现成果分享。教师对各组的研究成果、成功之处、存在的问题、努力的方向等情况作出评价。最后完成学习报告（附表如下）。

附表：学习报告表

课堂教学中有了几何画板，完全改变了教师从概念到概念，从题目到题目的教学状况；更改变了学生一支笔，一个本，上课记笔记，考前背熟题的学习状况。当然要实现教与学的双赢，也不是单靠一个几何画板就能实现，我们的实践与研究仍然任重而道远。