析疑三则

曹慧

关于角的知识，国标本苏教版小学教材具体编排在二年级下册与四年级上册。如果说二年级下册是紧密联系小学生熟悉的生活实际，借助直观、形象地描述角，初步地认识角，那么四年级上册是在认识直线、射线的基础上，静态地画出角，深入一步地认识角，并学会度量角，进而体现角的一些简单运用。作为教材的延伸，中学数学还有一个从运动的观点动态地生成角（且有正、负角之分）、应用角的过程。就小学阶段，笔者从校内外的听课活动中发现，相当一部分学生以及少数教师（多为年轻教师），在角的教与学中或多或少存在一些模糊观念或者似是而非的认识，由此给角的学习蒙上阴影，带来负面影响。现选三例作浅析：

问题1 生活中所说的“角”就等于教材中所教的角？

平时生活中所说到的具体实物上的“角”与我们课本所讨论的平面上的角不完全是一回事。比如课堂上会被举到的：①三角尺上有三个“角”；②教室的门上有四个“角”；③小欣课间玩闹时不小心碰到了讲台的“角”上，流了血。以上三例中所列举的“角”，从某种意义讲，都只能称作生活中的“角”，而不是教材中要认识的角。这一点，画出图形就清楚了：三角尺上的“角”如图①所示，而教室门的“角”或讲台的“角”如图②所示：

显然，它们都是空间的“角”，而在这些“角”的不同平面上所呈现出的角，才是我们要研究的角，所以不能把它们混为一谈。

又如，二年级上册教材中出现的剪刀上的“角”以及钟表的时针与分钟形成的“角”，用它们引出角，优点是熟悉、直观、逼真，还可展示其大小。不过缺点也明显：角的本质的东西与非本质部分并存，而且后者更具有显眼的优势（如剪刀的握把、刀刃以外的刀背，时分针的重叠处和两针的粗细、长短不一等等），同时还难体现角的边的可延伸性。教学中必须由教师作形象的比划和引导，否则往往会喧宾夺主，影响认知。

可见，教材或举例中所碰到的这些生活中的“角”，一方面要求教师注意表述分寸，配合以到位的体态语言揭示其实质，接下来十分重要的教学环节是把这些实物上的“角”，通过删繁就简，设想延伸，突出本质，巧妙地抽象出来，转化为平面上的角。（如下图）进而在平面进一步认识它们。

千万不能就事论事，把生活中所列举的“角”不加区别地当成教材中要讨论和认识的角，从而给学生的学习带来不良影响。在此笔者还想顺便指出，有不少版本的教材都有用叠扇图作为角的例子，但通过听课和推敲发现，此例用在角的启蒙认识中，弊大于利。扇子的握把偏离角的顶点，扇子两侧的主龙骨并不像角的两条边，尤其是扇子中间的可放缩叠面更干扰着学生的认知。拿它作角时，很多学生显得一脸的困惑与无奈。一句话，将折叠扇表示角远离了角所凸显的本质。

问题2 最大的锐角是89°？

二年级下册教材从正方形的角，纸工袋的角和三角尺上面一个最大角分别“移出”原图形，画在平面上成下图：

并指出：这三个角都是直角。再用时钟上的时针与分针所成的角与直角来做大小比较，并描述：①（比直角小的）锐角，②（比直角大的）钝角，到四年级上册，能用量角器度量角的大小之后，通过量化提升对这些角的认识：直角是90°，锐角小于90°，钝角大于90°而小于180°。

认识至此，在讨论中有学生发问：“老师，锐角小于90°，那锐角有没有最大的，89°角是不是最大的锐角？”师先是一愣，后让学生讨论。学生议论纷纷：“89°角是最大的锐角！因为后面就是90°的直角了。”“老师，我认为还有最小的锐角，是1°的角！”“不对，0°才是最小的锐角，本来最小的自然数是1，现在是0了！”“0°哪儿还有角？看都看不见了，还是锐角？”“老师，量角器上是没有小数，不知角的度数可以是小数吗？如果可以，我觉得还有比89°大的锐角！”讨论很热烈，思维很活跃，各抒己见，莫衷一是。为不占过多的课堂时间，几分钟后，教师小结：“大家讨论得很认真，很热烈，这个问题我们到中学里还要深入学习，就小学阶段，从整数的角度讲，认为最大的锐角是89°，最小的锐角是1°，也说得通。但0°角不是锐角。这样讲，大家认可吗？”“认可。”原先持此意见的同学认可得很响亮。一场不小的争论在老师既显权威又难完全服众的总结中结束。

看来，老师备课中对此并未准备，数学功底也有些欠缺，因此面对课堂的突然生成，只好自圆其说地结束讨论。不过，课后教师或许会去做学习探究，充实修正自己的说法，亦可姑称教学相长，不是坏事。其实，从数学角度说：“是否存在最大（小）的锐角（钝角也一样），已经涉及无限的问题了，当然答案是确定的：不存在最大（小）的锐角（或钝角）。

问题3 平角就是一条直线、周角就是一条射线？

一次，教师让学生在纸上画一个平角和一个周角，展示中发现，学生的作品主要有图①和图②两类：

师皆认可，并指出图①中的平角与周角的顶点已具体标出；图②中尽管没有标出角的顶点，但直线上有无数个点，每一个点都可以作为平角的顶点，而射线的端点，无论标出与否都客观存在，也就是说周角的顶点也存在着的。然而，笔者不太同意这种说法，作为凸显平角、周角特征的角的顶点，还是具体标出更为直观且清楚，尤其对初学者而言，无疑是增加了踏实与确定感。

事实上，笔者在自己的教学中以及听课中也不止一次碰到有些学生认为“平角就是一条直线！直线也是一个平角！”“要是角的顶点不标出，平角和直线是一回事！”还有“射线就是一个周角！周角也可以看做一条射线！”“一条直线上能有两个平角！”等，如此说法，或许与我们平（周）角教学的表述与要求有关，与学生对直线、射线、平角、周角的认识不到位也有关。而不同的说法，关键是将不同概念之间的区别给抹杀了，本质被混淆了。这是因为，直（射）线是直（射）线，平（周）角是平（周）角，一个是线，一个是角，名称不同；名称所反映的概念的本质也不同；而且各自的生成与组成也不一样。就小学数学的内容而言：直线是把线段的两端都无限延长所得到的图形；射线是把线段的一端无限延长所得到的图形。而平角是180°的角，它的两条边正好在一条直线上；周角是360°的角，并且它的两条边正好重合在一条射线上。