浅谈中考题中有关正三角形的证明

叶春林

【摘要】 正三角形的证明是初中几何内容中最重要的. 正三角形在生活中最为常见，应用也最为广泛，故在近几年的中考中有着其特殊的地位．正三角形又与全等三角形有着千丝万缕的联系，要能够把这些知识综合运用是最关键的．

【关键词】 正三角形；全等三角形；相似；等腰

在历年全国各地的数学中考中，关于正三角形的内容往往涉及的比较多，因为正三角形的知识点与别的知识点又很容易联系. 下面我选择一些中考题谈谈我的看法．

一、选择题

例1 （２００９安顺）如图１，已知等边三角形ＡＢＣ的边长为２，ＤＥ是它的中位线，则下面四个结论：① ＤＥ ＝ １；② △ＣＤＥ∽△ＣＡＢ；③ △ＣＤＥ的面积与△ＣＡＢ的面积之比为１ ∶ ４. 其中正确的有 （ ）.

Ａ． ０个 Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个

答案 Ｄ

点评 本题以正三角形为载体，考查了学生三角形中位线和相似三角形的知识.

例2 （２００９湖州）如图２，在正三角形ABC中，D，F，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 （ ）.

Ａ． １ ∶ ３ Ｂ． ２ ∶ ３ Ｃ．∶ ２ Ｄ．∶ ３

分析 在正三角形ABC中，∠Ａ ＝ ６０°，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｃ ＝ ６０°，

∵ DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴ ∠ＡＥＦ ＝ ３０°，∠ＢＦＤ ＝ ３０°，∠ＣＤＦ ＝ ３０°，

从而得到∠ＥＦＤ ＝ ６０°，∠ＦＤＥ ＝ ６０°，∠ＦＥＤ ＝ ６０°，

故△ＤＥＦ是正三角形．

设ＢＤ ＝ ｘ，则易得ＣＤ ＝ ２ｘ，ＤＦ ＝ ｘ，

则△DEF的边长与△ABC的边长之比等于 ∶ ３，故面积比为１ ∶ ３．

答案 Ａ

点评 本题要求学生掌握正三角形的证明方法（两个角是６０°的三角形是正三角形）、正三角形的性质、全等三角形的证明方法（ＡＡＳ或ＡＳＡ）和相似三角形边长比和面积比的关系，故学生的基础知识一定要全面，还要能够把知识有机的联系起来．

二、填空题

例3 （２００７沈阳）如图３，△ＡＢＣ是边长为３的等边三角形，△ＢＤＣ是等腰三角形，且∠ＢＤＣ ＝ １２０°．以Ｄ为顶点作一个６０°角，使其两边分别交ＡＢ于点Ｍ，交ＡＣ于点Ｎ，连接ＭＮ，则△ＡＭＮ的周长为．

分析 作∠ＭＤＥ ＝ ６０°，ＤＥ交ＭＢ的延长线于Ｅ.

∵∠ＤＢＥ ＝ ∠ＤＣＮ ＝ ９０°，

∠ＢＤＥ ＝ １２０° － ６０° － ∠ＢＤＭ ＝ ∠ＣＤＮ，ＤＢ ＝ ＤＣ，

∴ Ｒｔ△ＢＤＥ ≌ Ｒｔ△ＣＤＮ（ＡＳＡ），

∴ ＢＥ ＝ ＣＮ，ＤＥ ＝ ＤＮ，

∴ △ＤＭＥ≌△ＤＭＮ（ＳＡＳ），∴ ＭＮ ＝ ＭＥ ＝ ＢＭ ＋ ＣＮ，

∴ △ＡＭＮ的周长 ＝ ＡＢ ＋ ＡＣ ＝ ６.

点评 本题有一定的难度，主要考查了学生构造线段作辅助线的能力，而从６０°的角出发是解题的突破口．全等三角形的知识始终贯穿着三年的初中学习，要求学生能够熟练运用．线段的割补是重要的解题思想，尤其是与全等三角形联系更是较高的要求．

三、证明题

例4 （２０１０黄冈） 如图４，过边长为１的等边三角形ＡＢＣ的边ＡＢ上一点Ｐ，作ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，Ｑ为ＢＣ延长线上一点，当ＰＡ ＝ ＣＱ时，连接ＰＱ交ＡＣ边于Ｄ，则ＤＥ的长为多少？

分析 过Ｐ作ＢＣ的平行线，交ＡＣ于Ｍ，则△ＡＰＭ也是等边三角形. 在等边三角形ＡＰＭ中，ＰＥ是ＡＭ上的高，根据等边三角形三线合一的性质知，ＡＥ ＝ ＥＭ. 易证得△ＰＭＤ ≌ △ＱＣＤ，则ＤＭ ＝ ＣＤ. 此时发现ＤＥ的长正好是ＡＣ的一半，由此得解．

解 过Ｐ作ＰＭ∥ＢＣ，交ＡＣ于Ｍ，

易知△ＡＰＭ是等边三角形.

又∵ ＰＥ⊥ＡＭ，

∴ＡＥ ＝ ＥＭ（等边三角形三线合一）.

∵ ＰＭ∥ＣＱ，

∴ ∠ＰＭＤ ＝ ∠ＱＣＤ，∠ＭＰＤ ＝ ∠Ｑ，

又∵ ＰＡ ＝ ＰＭ ＝ ＣＱ，

∴ △ＰＭＤ≌△ＱＣＤ（ＡＳＡ），

∴ ＣＤ ＝ ＤＭ，ＤＥ ＝ ＤＭ ＋ ＥＭ ＝ ＡＥ ＋ ＣＤ ＝ ＡＣ ＝.

点评 本题考查学生构造正三角形的能力，还要求学生会分割一条未知线段的长，制造全等三角形，从而找出各小段之间的关系，最终求出问题的答案．

总之，在我们学习正三角形的过程中，要能够充分掌握其特点，熟练运用它的性质特点和判定方法，把正三角形和全等三角形、直角三角形、中位线、抛物线等一系列知识有机联系起来，这样我们的应用能力、解题能力以及综合实践能力才会有大的进步．