培养问题意识 提升探究能力

倪小利

一、教学背景

传统的数学教学中，教师注重的是培养学生的“问题解决”能力，而忽略了学生提出问题、探究问题能力的培养. 爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为提出一个问题更需要创造性的想象力. ”因此，教师不仅要教会学生解决问题的方法，更要教会学生提出问题、分析问题、解决问题的各项能力.

但问题从哪里来？从教师根据教学设计而来，从生活中体验而来，更重要的是从学生自身的求知需求而来. 由贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授主持的中小学数学“情境——问题”教学模式，就是以数学情境为基础，以数学问题为纽带的教学. 即创设一个合适、有趣的情境，引导学生提出问题，通过师生互动、质疑探究，采取提出问题和解决问题齐头并进，产生“情境——问题——解决——应用”的学习链，来拓展学生的思维和创新能力的培养，这与新课标所倡导的理念是完全一致的. 因此笔者在平常的教学中尽量尝试让学生发现问题、提出问题，促使他们更为积极、主动地探索下去，从而拓展学生思维，培养其创新能力. 下面是笔者在九年级复习阶段的一次教学尝试.

二、教学实录

１. 问题提出，诱发思考

问题：如图１，有一个长方体，它的长是４，宽是３，高是５，在Ａ处有一只蚂蚁，它想吃到Ｃ１处的食物，沿着表面需要爬行的最短路程是多少？

问题提出后，学生们纷纷开始思考、计算，不一会儿，有几名学生举手了.

生１：答案是. 方法是将平面ＡＢＢ１Ａ１和平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１摊平成一个平面（如图２），则对角线Ａ′Ｃ１的长为所求，由勾股定理，得Ａ′Ｃ１ ＝＝ .

生２：我的答案是. 方法是将平面ＡＢＣＤ和平面ＢＣＣ１Ｂ１摊平成一个平面（如图３），则对角线ＡＣ′的长为所求，同样由勾股定理可以求得. 因为 ＞ ，所以我想我的答案肯定不是最短的.

师：还有比这更短的路程吗？

（同学们陷入了思考中，隔一会儿，突然一同学激动地站起来. ）

生３：他们两个的答案都是错误的.

师：为什么？

生３：（跑上讲台，递上自己画的图请老师投影）这道题目应该分三种情况.

沿蚂蚁所经过的三条棱，将长方体相应的侧面剪开成如图的三种图（图２、图３、图４），由勾股定理分别求得：

图２：Ａ′Ｃ１ =＝ ，

图３： ＡＣ′ ＝＝ ，

图４：Ａ″Ｃ１ ＝＝ .

∵＞＞ ，

∴ 蚂蚁沿图４的爬行路线路程最短，且最短路程为.

（同学们热烈鼓掌，对他的回答表示非常满意. ）

２. 自创情境，学生提问

师：老师出的题大家已经解决了，不过通过这道题，大家联想到了什么？你还想知道哪方面的知识，并能提出哪些类似的问题？

（学生们经过短暂思考，逐一举手提问，老师筛选出几个符合本节课教学目标且具有一定研究价值的问题，这些问题经过老师适当修改，增减数据而成. ）

问题一：长方体→正方体．

问题二：长方体→圆锥．

题目：如图５，圆锥的底面半径为１，母线长为３，一只蚂蚁从底面圆周上一点Ａ出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到Ａ点. 问：蚂蚁爬行的最短路程是多少？

问题三：长方体→圆柱．

题目：如图６，一圆柱的底面周长为２４厘米，高ＢＤ为４厘米，ＢＣ是直径，一只蚂蚁从点Ｄ出发沿着圆柱的表面爬行到点Ｃ的最短路程大约是 （ ）.

Ａ． ６厘米Ｂ． １２厘米 Ｃ． １３厘米Ｄ． １６厘米

３. 师生互动，解决问题

问题一． 师：这个问题如何考虑？

生１：与长方体的解法一样，不过因为是正方体，所以三种情况的答案是相等的.

师：对于蚂蚁在正方体表面爬行，大家还能提出问题吗？

生２：若Ｐ为ＣＣ１的中点（如图７），求蚂蚁从Ａ爬到Ｐ的最短路程是多少.

……

问题二． 师：请大家先思考.（老师边巡视，边指导个别同学，没多久就有很多同学做好了，老师选了其中一名学生的答案，投影出来. ）

生１：把圆锥沿母线ＯＡ剪开，侧面展开图为一扇形（如图８），ＡＡ１的长就是蚂蚁爬行的最短路程. 由公式，可得∠ＡＯＡ１ ＝ １２０°，又∵ ＯＡ ＝ ３，∴ ＡＡ１ ＝ 3.

师：图８中ＡＡ１最短的依据是什么？

生：（齐答）两点之间，线段最短.

师：很好. 不过我想请一名同学把前面几道题的一般解题思路小结一下.

生２：长方体中把折面摊平，圆锥中沿侧面母线剪开，这样就可以使不在同一平面内的线转变为在同一平面内的线.

生３：（忽然站起来）老师，如果圆锥的侧面展开图变为图９的样子，那么绕侧面一圈，再回到Ａ点，蚂蚁爬行的最短路程又该怎么算？

“刚才的ＡＡ１不行了，那……”同学们顿时紧张起来，不过很快就有结果了.

生４：蚂蚁从Ａ→Ｏ，再从Ｏ→Ａ１，这样路程最短，即为母线长的２倍.

生５：老师，我想把问题二改一下. （老师点头同意）如图１０，点Ｂ为母线的中点，其他条件不变，那么蚂蚁从Ａ爬到Ｂ的最短路程又是多少？

……

问题三． 师：圆柱怎么思考？请同学们算算.

（同学们忙于计算起来，一会儿就有人发言了. ）

生１：将圆柱沿ＢＤ剪开后摊平成如图１１的形状. 由题目得：ＢＢ１ ＝ ２４厘米，ＢＤ ＝ ４厘米，∴ ＢＣ ＝ １２厘米，由勾股定理得：ＣＤ ＝＝≈ １２．６５ ≈ １３（厘米），所以选Ｃ.

（是呀，我也选Ｃ，下面的同学在小声议论着，沉浸在解出题后的喜悦之中. ）

师：答案真的是Ｃ吗？

（同学们一片哗然，不是选Ｃ还是什么？难道……）

生２：从Ｄ→Ｃ应该还有路线，题目是说在圆柱表面爬行，我想可以按从Ｄ→Ｂ→Ｃ爬行，即先爬高线，再爬直径.

生３：你这个路线不能算的.

师：大家说这条路线可以吗？（同学们大都点头称是. ）

生３：（不服气地说）你这个路线不是直的，肯定比刚才计算的ＣＤ长.

师：那么大家算算看到底哪一个短？（很快就有人算好了，老师请她上黑板前板书. ）

生４：ＢＤ ＋ ＢＣ ＝ ４ ＋≈ １１．６４ ≈ １２（厘米），很显然比刚才计算的ＣＤ短，所以选Ｂ.

这时大多数同学都计算好了，有的在看着黑板上的答案. “这个答案的确比刚才的短，我怎么想不到呀！”有同学激动地说.

师：答案选Ｂ是正确的. 那么请同学们再想一想在这个图形中，蚂蚁爬行的最短路程一定是先爬高线，再爬直径吗？即“高线＋直径”是否一定最短？

生：不一定. （说不清为什么，一时教室里非常安静. ）

师：如果把此题中的高ＢＤ的长改为１０厘米，其他条件不变，那么结果又会怎样？

（不一会儿，结果就出来了. ）

生５：ＤＣ ＝≈ １５．６２（厘米），ＤＢ ＋ ＢＣ ＝ １０ ＋ ≈ １７．６４（厘米），所以侧面展开图的相应对角线ＤＣ的长最短.

师：通过这两题的计算结果，大家想想你有什么发现？又有什么疑惑？

生６：有的时候是“侧面展开图的相应对角线长”最短，有的时候是“高线＋直径”最短，但到底哪一个最短，要计算才知道.

生７：我觉得这个结果与圆柱的形状有关. 矮胖形的是“高线 ＋ 直径”最短，瘦长形的是“侧面展开图的相应对角线长”最短.

是的，是的，同学们小声讨论，脸上洋溢着喜色.

生８：老师，那有没有两条路线长相等的时候？

师：生８问得好！这个问题值得我们去研究，怎么思考呢？

教室里安静极了，同学们再一次陷入了沉思之中……过了一会儿，

生８：可以从这两条路线长相等的时候思考，不过我现在还没算出来.

生９：可以设圆柱的底面半径为ｒ，高线长为ｈ，根据两条路线长相等，列出等量关系，就可解决问题.

师：那你能上来试试吗？（生９勇敢地走上讲台，在黑板上解了起来．）

生９：设ＢＤ ＝ ｈ，ＢＣ ＝ ２ｒ．

（1）如图６：设Ｄ→Ｂ→Ｃ的路线长为Ｓ１，则Ｓ１ ＝ h + 2r；

（2）如图１１：设DＣ的长为Ｓ２，则Ｓ２ ＝ ；

当Ｓ１ ＝ Ｓ２时，即ｈ ＋ ２ｒ ＝ ，

∴ （ｈ ＋ ２ｒ）２ ＝ ｈ２ ＋ πｒ２，即４ｈｒ ＋ ４ｒ２ ＝ π２ｒ２.

∵ ｒ ≠ 0，∴ 4h + 4r = π2r，∴= .

当 = 时，Ｓ１ ＝ Ｓ２，即两路线长相等.

教室里响起了热烈的掌声，同学们带着钦佩、羡慕的眼光看着生９走下讲台．

生１０：我知道了.

（1）当 = 时，两条路线一样长；

（2）当 < 时，“侧面展开图相应的对角线长”最短；

（3）当 > 时，“高线 ＋ 直径”最短.

同学们再次热烈地鼓掌.

三、教学反思

本课例从一个问题情境出发，激发学生的求知欲望，在这个问题的解决过程中，引发新的情境，新的问题，这样就形成“情境——问题”的学习链，而且很多问题都是学生自己提出，共同合作解决的，这样更进一步激发了学生新的求知欲望，想继续深入探究下去. 这一节课里，课堂气氛非常宽松、融洽、和谐，学生是数学学习的主人，自己提出问题、分析问题、解决问题，而且学生从始至终都保持活跃的思维、高度的热情、执著地探索. 这一课例的成功，得益于新课标的理念，得益于吕、汪教授“情境——问题”教学模式的理论指导，得益于自己实践经验的积累和课前充分的准备工作. 基于此，我有如下几点看法.

１. 教师要转变教学观念

教师的角色应从知识的传授者转变为学生学习的组织者、合作者和共同研究者，在引导学生提出问题、分析问题、解决问题的同时，进一步激发学生自觉地探索数学问题，体现成功的乐趣.

在课堂气氛上也应有所转变. 由教师的“一言谈”转变为教师组织引导、学生合作探究的课堂环境，教师对学生的思维活动应减少干预，真正做到让学生自主探究学习.

２. 情境的创设应具有多样性

《数学课程标准》中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有效的、富有挑战性的，要切实开展有效学习，首先要调动学生的学习积极性，使他们产生对知识的渴望. ”情境创设的好，就等于这一节课已经成功了一半. 因此在情境的创设中应具有多样性.

（1）趣味性. 有趣的情境能把同学们马上吸引过来，同时展开热烈地讨论、高效地探索.

（2）诱导性. 诱导性的情境更能吸引学生，使其渴望马上解决问题，从而发现并提出新的问题.

（3）争论性. 争论是一种使学生积极思维的情境. 本节案例中的情境就具有争论性，许多学生很容易做错，一下子就吸引了学生的眼球.

（4）应用性. 通过生活情境，使学生感觉到数学就在我们身边，生活中处处有数学，把数学学习当成了一种乐趣、一种享受，从而学到有用的数学.

３. 加强问题意识培养，提升学生探究能力

问题是思维的出发点，有了问题才会去思考. 教育心理学理论启示我们，在课堂教学上，充分运用动机原理，可以使学生的学习具有内驱力，学习将会取得良好的效果. 适当的问题能促使学生在课堂上主动思考、积极探索. 因此数学课堂应当以问题带动教学，在解决教师提出问题的基础上，积极引导学生学会提问、学会质疑和学会释疑，培养学生打破砂锅问到底的数学理性精神.

学生的问题意识越强，越能激发学生的求知探索欲望，探究能力也会得到显著的提升. 长时间地实施数学“情境——问题”教学模式，对提高学生的数学素养和分析、观察、探索、创新能力等方面都将会有较好的效果，从而有力地促进基础数学课程改革的发展.

【参考文献】

［１］吕传汉，汪秉彝．再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习．数学教育学报，２００２，１１（４）：７４.

［２］马秋霞．培养学生提出问题能力的一次尝试．中学数学教育（初中版），２００６（１０）：１３－１４．

［３］徐瑞先．老师，这个答案为什么错了．中小学数学（中学版），２００７（３）：３１-３２.