巧用韦达定理简化解题过程

杨燕

高中的平面解析几何，是用代数方法来研究平面几何图形的问题，它所提出的问题以及问题的结论都是几何形式，而中间的论证和推导基本上是用代数方法.有许多题型中都会涉及二次函数韦达定理的综合应用.

韦达定理反映了方程根与系数的关系，在平面解析几何中凡是与方程的根有关的问题，大多数可用韦达定理来求解，如解决交点坐标关系、定值、轨迹方程等.

本文通过近几年高考及模拟试题的一些具体的例子，浅析韦达定理在解析几何中的综合应用.

一、构造二次方程运用韦达定理

例1（2011年浙江高考）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

（1）求点M到抛物线C1的准线的距离.

（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

解（1）解略.M到抛物线C1的准线的距离为174.

解得x20=235.

即点P的坐标为±235，235，所以直线l的方程为y=±3115115x+4.

点评过圆外一点引圆的切线有两条，此题就用两直线的斜率构造了二次方程，再利用韦达定理得到两斜率的和与积与动点P的横坐标的关系，再次利用两切线与抛物线相交的交点横坐标为变量，构造关于这两交点横坐标为根的二次方程，虽然设了两个斜率，但没有真正求出，正体现了韦达定理的妙用之处——设而不求，此题很好地利用了韦达定理.

例2如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC的面积的最小值.

解设点P（x0，y0），B（0，b），C（0，c）.

又S△PBC=|b-c|2x0，直线PB：y-b=y0-bx0x与圆相切，

∴1=|y0-b+bx0|(y0-b)2+x20，

整理得(x0-2)b2+2y0b-x0=0.

同理，(x0-2)c2+2y0c-x0=0，

∴b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个根.

因此(b-c)2=(b+c)2-4bc=2y0x0-22-4·-x0x0-2=4y20+4x20-8x0(x0-2)2=2x0x0-22，

∴S△PBC=|b-c|2x0=x20x0-2=t2+4t+4t=t+4t+4≥8，

其中t=x0-2>0，当x0=4时取得最小值.

点评此题同样是解决直线与圆的切线问题，与上一题不同之处是，此题构造了关于两直线与y轴的交点的纵坐标为变量的二次方程，同样是设而不求使解答过程得到了简化.

二、利用韦达定理求轨迹方程

例3（2010年河南省调研）由动点P向椭圆x24+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB=90°，则动点P的轨迹方程.

解设P（x0,y0），kPA=k1，kPB=k2，则k1k2=-1.

将直线y-y0=k1(x-x0)代入x24+y2=1，

整理，得(1+4k1)x2+8k1(b-k1a)x+4(b-k1a)2-4=0.

∵AP与椭圆相切，∴Δ=0.

整理，得1+4k21=(b-k1a)2.①

同理，得1+4k22=(b-k2a)2.②

由①②可知：k1,k2为方程(x20-4)k2-2x0y0k+y20-1=0的两根，

由韦达定理可知：k1k2=y20-1x20-4=-1，