关于球与多面体的组合体解题方法探讨

冯国明

【摘要】尽管高考对球与多面体的考查是基础性的，但这并不意味着可以忽视这部分的教学，毕竟，从当前情况看，此部分的考查仍是较为频繁的.笔者将就这方面的解题方法进行多方面的探讨.

【关键词】高中数学；立体几何；球与多面体；解题方法

从这几年的高考试卷上看，对空间想象能力的考查，一般是集中体现在立体几何试题上的，对球与多面体的考题，一般以基础题为主.解决这类题目，需要掌握相关的截面图和结论.事实上，球与多面体之间的接切问题，在课本中没有明确的定义，球的主要元素在它的大圆中；而多面体的主要元素关系在各个侧面及对角面上.本文主要是介绍常见的与球有关的组合问题中的内切、外接等题型的解法.

一、关于解题思想

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍的应用意义，是历年高考的重点.数学思想方法比数学基础知识有更高的层次，如果说数学基础知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.中学数学中的主要数学思想有函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.高中数学教师在教学中，应该尽可能地加深学生对数学思想方法的理解并学会在解题中自觉运用数学思想方法.因此，笔者以球与多面体的组合体解题方法为例，精心设计了几个案例，从不同侧面体现了数学思想方法对寻求解题思路的作用，对于拓宽思路、发展智力、培养能力有一定的意义.

二、关于球与多面体的组合体解题思路

1毕嘟游侍

球外接于多面体是指多面体的各个顶点都在球面上.

棱柱与球的组合体.

例1一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为.

分析正四棱柱的外接球的圆心O在它的体对角线AC与AC的交点上，如图1.

图1

在Rt△ACC1中，∵AC21=AC2+CC21，∴CC1=2，

∴S=2×1×1+4×1×2=2+42.

2毕嗲形侍

球内切于多面体，即球与多面体的各个面都相切.

(1)正方体的内切球中，切点为正方体各个面的中心，对面距离为内切球的直径，若正方体的棱长为a，内切球的半径为12a.

(2)正四面体、正三棱锥的内切球切点在棱锥的底面和斜高上，因此截面图是斜高及斜高在底面的射影、高组成的直角三角形，若正四面体的棱长为a，则内接球的球半径为612a.

反思任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.

拓展如果一个多面体的各棱都与一个球相切(把多面体想象成一个框架)，中间有一个充气的球，“切”点恰在各棱的中点，如：正方体的棱切球，球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，经过四个切点的球的截面(大圆)是正方形的外接圆，对棱中点间的距离为该球的直径.若正方体的棱长为a，则棱切球的半径为22a，如图3.

图3

三、结语

总之，在实际的教学中，高中数学教师应该从多个方面进行思考和总结，尽可能的为学生创造出更多的理解空间，让学生能够在理解数学原理的基础之上，完成数学问题的解答.一般而言，在教学中常将空间问题转化为平面问题，用截面图时，关键明确切点、接点、球心，将相关的数量关系呈现在三角形内解决，其实只要掌握相关的结论，分析截面图，让学生看清截面的作法，就可解决两个几何体基本元素之间的关系.

【参考文献】

［1］李吉海.高中学生的数学思维障碍的成因及突破［J］.学苑教育，2010(1).

［2］何竹峰.高中数学“有效教学”模式的构建研究［J］.数学学习与研究，2010(1).

［3］汤传诚.高中数学探究式教学策略研究［J］.中学教学参考，2010(5).