中学生数学推理能力探究

高建

【摘要】本文深入探讨了推理的机制、数学推理的一般过程、数学推理的分类，并根据数学推理的分类总结归纳出适合于中学生的数学推理能力层次分类.最后，根据本文数学推理能力层次分类对当前中学生数学推理能力进行了调查研究，并与张奠宇教授等于1997年6月对数学推理能力的调查结果进行对比分析.

【关键词】推理；数学推理；数学推理能力；推理能力分类オ

一个具有推理能力的人，无论遇到什么事情，都会自觉地寻求并弄清事情发生的本源，讲道理，判明是非，从而采取公正、合理的措施来解决问题.具有较强的推理能力对学生成长以及智力发展都起着加速和促进的作用，使其能够应对如今社会中大量纷繁复杂的信息，并对其进行筛选，理出头绪，作出恰当的判断和决策，这是21世纪新型人才所需要的基本素质.因此，培养学生的数学推理能力，提高学生的问题解决能力，培养学生将来工作以及实际生活的能力，是一项迫在眉睫的任务.

一、推 理

推理（獻nference）并不仅仅局限在数学推理这个层面.推理广泛应用在我们的日常工作和生活中，在我们日常工作和生活中，推理无处不在.

推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程.推理是形式逻辑，其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.

推理是从一些已知的命题A1，A2，…，A璶出发，按一定规则推得一个新命题B的思维过程.一个推理由前提和结论两部分所组成，推理时所依据的命题A1，A2，…，A璶称为推理的前提，从前提通过推理得到的新命题B称为推理的结论.

二、数学推理

最初人们认为“数学推理本质上是一种纯粹的逻辑推理，因而不会受到武断的影响”（Whately R.，1873）.但数学推理并不等同于纯演绎的逻辑推理.19世纪数学家彭加勒（Henri Poincare）在其“数学推理的本性”中对沿袭了两千多年之久的数学“三段论”推理说率先提出质疑后，人们对数学推理的理解逐渐趋于深刻.波利亚（Givlert Polya）于1954年发表了《数学与猜想》，其中主要研究数学成果的思想渊源，明确将数学推理概括为证明推理与合情推理.

笔者认同“数学推理是从一个判断或许多已知判断推出另一个新判断的思维过程，是对判断间的逻辑关系的认识”这样一种观点.掌握比较完善的推理能力是智力发展的重要环节和主要标志.

1笔学推理分类

人类的思维是复杂的，推理这种思维过程也有多种形式.

（1）推理按推理过程的思维方向划分，主要有演绎推理（獶eductive Reasoning）、归纳推理和类比推理.

①演绎推理又称三段论推理，最常见的是直言三段论形式.其意义是由普通的原理到特殊事实的推理，即以普通的原理为前提，以特殊事实为结论.

②归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它是由一系列个别性的知识，推出一个一般性的结论.思维进程的方向和演绎推理恰好相反.

③类比推理是根据两个或两类事物某些属性相同或相似，进而推论另一属性也相同或相似，或者根据某类事物的许多现象都有某种属性，推论该类事物的另一对象也有这种属性的推理形式.它是通过对两个或两类事物进行比较，发现相同或相似点后，以此作为依据推知事物的未知属性.

（2）推理按照结论的真假，可以把数学推理划分为必真推理（论证推理）与似真推理（合情推理）两大类.

①必真推理：必真推理又称为论证推理.在前提正确无误的情况下，使用推理方法可以导出真实的推理结论，即导出真命题.演绎法中只要前提判断正确，结论自然是真实判断，所以演绎法是一种必真推理方法.

②似真推理：似真推理又称为合情推理，它来自于玃lausible Reasoning，是一种合乎情理的推理.推理中，如果推理前提正确无误，即为真命题，而推理结论不一定为真.广义的合情推理包括观察、实验、联想、猜测、直观、归纳、类比、推广、限定、抽象等一系列发现手段.

（3）根据推理前提的数量可分为直接推理和间接推理.

①直接推理.直接推理是由一个前提推出一个结论的推理.在传统逻辑学中，直接推理分为：根据判断间的对当关系的直接推理和通过判断变形的直接推理两种.

②间接推理.间接推理是有两个或两个以上的前提推理出一个结论的推理.间接推理又根据其前提到结论思维进程的方向分为演绎推理、归纳推理、类比推理.

（4）逻辑推理的发展要经历四级水平：直接推理、间接推理、迂回推理、综合推理.

①直接推理水平，即套用公式直接推出结论；

②间接推理水平，即需要进行条件转化、寻找依据、经多个步骤得出结论；

③迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才得出结论；

④综合性推理水平，即要按照一定的数理逻辑规则、格式进行推理，追求推理过程的简练、合理.

研究表明，中学生逻辑推理水平普遍较低，初一学生有一半以上不能套公式做题，高中学生还有人不能按公式进行一步推理；多步推理成为普遍难题，综合性推理更是困难重重.

2笔学推理的三个层次

对数学推理能力的划分形式是多样的，每一种方法的侧重点各不相同.针对本研究的群体特性，笔者认为：数学推理划分为直接推理、间接单层推理、间接多层推理.如图1所示.其中间接单层推理又可以划分为间接单层单步推理、间接单层两步推理、间接单层多步推理.这种划分方法的包容性显然是有限的，但目标清晰且是有重点的进行划分，适合于针对数学推理能力水平相对不高的初中生进行其数学推理能力的培养.

图1 数学推理能力层次オオ

合情推理有助于创造性思维的培养，演绎推理有利于逻辑严密性思维的培养.笔者认为将对中学生的数学推理划分为演绎推理和合情推理的划分方法有利于对推理形式的研究，但并不利于对中学生数学推理能力的培养.本研究中的数学推理能力的划分方法并不是仅仅强调演绎推理，忽视合情推理的重要性，而是将合情推理融入到我们本研究的框架之中.

3笔学推理能力

数学推理能力，实际上是学生逻辑论证能力、独立思考能力、探索能力、创新能力等的综合体现，是一种复合型能力.“课标”指出，义务教育阶段学生的数学推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑.

通过分析，笔者认为可以把“数学推理能力”的概念界定为：在数学活动中，运用合情推理去获得理解数学概念、公式、法则等知识或探究解决问题的方法，获得发现、得出猜想或结论，并用演绎推理对所得出的猜想结论加以检验、证明的个性心理特征.

数学推理能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等.这种“悟”只有在学生经历观察、实验、猜想、证明的真实数学问题探索中得到培养.

三、中学生数学推理能力调查

国内外对于学生数学推理能力水平的调查并不多.张奠宇教授、田中教授、徐龙炳教授于1997年6月开始对数学基本技能进行测试与分析，并于2003年以《数学教育研究前沿》系列丛书的形式发行出版.该研究和丛书对本研究起到很大的启示作用.但该研究对数学推理能力的测量从开始到现在已有12年之久，就算从2003年《数学教育研究前沿》系列丛书的出版算起，也已有7年之久.当今社会迅猛发展，我国不同年龄段的学生智力水平在最近几年变化速度很快，所以有必要在开展本论文的研究之前对当前的初中学生的数学推理能力再做一次调查.

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本次调查的对象为广州市天河区天秀中学（重点城市的区一级学校）的两个初三班级（共65名学生）和山东省烟台市十五中学（三线城市的普通学校）的三个初三班级（共110名学生）的学生.调查对象跨越两个省份，既有重点城市的重点学校，也有三线城市的普通学校，调查样本具有一定的代表性.天秀中学所用教材为人民教育出版社出版的义务教育系列教材，发放《初中数学推理能力的调查表》65份，回收62份，回收率95%，有效率100%.山东烟台市十五中学所用的教材为山东教育出版社义务教育课程标准实验教科书，发放《初中数学推理能力的调查表》110份，回收107份，回收率97%，有效率100%.

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此次调查使用《初中数学推理能力的调查表》，编制和设计依据本研究对数学推理能力的界定，参考了我国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》以及田中、徐龙炳、张奠宇编著，由华东师范大学出版社出版的《数学基础知识、基本技能、教学研究探索》一书中的相关内容，结合中学数学教材内容制定.

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为了保证调查问卷的信度和效度，我们在开展正式的问卷调查前进行了预测.预测的目的是初步检验题目的难度、题目的数量、调查问卷的信度和效度，并对发现的问题进行及时调整以便调查问卷更加严谨.为提高调查问卷的质量，与实验学校协调专门安排了一节课进行问卷调查，以便保证学生能够在良好的状态下完成需要调查的内容.

四、调查数据统计与分析

本调查研究，共发放问卷175份，共收回问卷169分.我们按照每道题的正误来给分，每道题目满分1分，回答正确给满分，回答错误给零分.首先我们批阅学生的每一份问卷，然后我们对问卷按照题号进行统计，最后根据每道题目的正答率画出曲线图，统计结果如图2所示.

图2 数学推理能力水平オオ

1.根据统计显示图，我们可以看出，中学生的数学推理能力水平普遍不高.大多数的题目，学生的正答率平均在55%.

2.第12，13题涉及多步数学推理，学生的正答率普遍偏低.而对于第1，2题等直接推理的题目，学生的正答率则普遍偏高.由此可见，学生的直接推理能力发展相对间接推理发展程度较好.

3.数据分析显示，对于图形化的数学推理，学生的正答率一般偏高；对于纯数字的数学推理，学生的正答率普遍偏低.由此可见，中学生正处于一个由形象化思维到抽象化思维过渡的阶段.学生的抽象化思维程度普遍不高，而形象化思维相对于抽象化思维则相对较高.在我们的数学教育教学中，我们完全可以利用学生的形象化思维较高的特性，利用几何相关知识来对抽象思维进行训练.

4.本次调查的学生的题目正答率为52.8%，与《数学基础知识、基本技能、教学研究探索》一书中的正答率506%=（44.74+55.47+51.59）÷3×100%相比，现在的中学生的数学推理能力相对较高.

我们对本次调查的169份问卷，按照性别进行分别统计，计算不同性别的学生每道题目的正答率，然后我们根据该正答率的统计数值作图，如图3所示.

图3 男女数学推理能力水平オオ

图3为按照性别进行统计学生每道题目的正答率.从本研究的调查统计图表来看，初中男生的推理技能和初中女生的推理技能基本相一致，并且初中女生在直接推理方面优于初中男生.在形象化思维方面男生优于女生，在数字演绎推理方面女生略优于男生.2003年张奠宇在《数学基础知识、基本技能、数学研究探索》一书中认为，城市省重点中学男生的推理技能略优于女生，而乡镇重点中学女生的推理技能高于男生，总体上中学生中男生演绎推理技能明显优于女生.与本调查研究的研究结果基本一致，但也有部分差异，可能与选取的被调查对象的不同有关.

五、调查结果小结

调查结果显示，中学生的数学推理能力较之1998年的调查结果有所提高，但总体水平仍然普遍偏低.中学生思维仍具有直观化、形象化的明显特点，对于图形化数学推理题目的正答率普遍较高.中学生正处于一个由形象化思维到抽象化思维的过渡阶段，简单的数学推理能力相对较高，复杂的多步间接推理能力则相对较低，而且两者差距很大.

调查结果同时显示，初中男生的数学推理能力与初中女生的数学推理能力基本一致，初中女生在直接推理方面优于初中男生.

调查结果说明，随着课程改革的深入，我国中学生的数学推理能力有了一定的提高，但总体水平仍然较低，中学生的数学推理能力亟待进一步提高.オ

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