对《用中学物理方法巧解一道大学物理习题》的再思考

王鹤新

（江阴市第一中学 江苏 无锡 214400）

1 问题的由来

文献［1］中有一篇题为《用中学物理方法巧解一道大学物理习题》的文章，以下简称原文，引发了笔者的一些思考．

原文题目：有一密度为ρ的均匀细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为ρ0的液体表面．现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度．设液体没有粘性．

2 原文的解答

思路一：大学物理解答如下：在下落过程中，细棒只受到两个力：向下的重力mg和向上的浮力F浮．其中浮力是个变力，当棒的浸没长度为x时，F浮＝ρ0xg S（S为细棒截面积），取竖直向下为x轴的正方向，如图1所示．

图1

根据牛顿第二定律

两边分别乘以d x可变成

两边积分这是原题给出的结果．

思路二：引入浮力势能：考虑到细棒下落过程中所受浮力F浮＝－ρ0xgS与弹力F＝－κx的大小和方向相似，类似弹性势能引入浮力势能的概念，以方便问题的处理．本题可以理解为随着细棒的下落．浮力做负功，浮力势能将增加．下落过程的能量关系是重力势能转化为浮力势能与动能，而浮力势能的数学表达式是，当细棒在恰好全部没入液

体中时，代入x＝l，根据能量守恒得

其中

最后求得

3 引发的思考

3． 1 动能定理求解

原文出现在“问题讨论”这一栏目，重在用中学物理方法巧解．既然用中学物理方法，那么该种物理方法一定符合中学生的知识结构与认知规律；同时也应该具有普遍性的特点．换个角度思考：如果该题作为考试试题的话，中学生中一定会有不少的同学解答出来．而且相信解答出来的学生大部分解法如下．

思路三：处理物理问题的三种基本思路：力、能量、动量．三种基本思路中力是最基本的．细棒在下沉的过程中重力无需研究．所以只需研究浮力的特点．然后会发现它是个变力，究竟怎么变，才能决定采取具体的处理方法．设细棒沉浸液体中任意长度x时，细棒所受浮力F浮＝ρ0gSx，不难发现任意时刻F浮与细棒发生的位移x之间成线性关系，因为浮力做的功可以用平均力来计算．

对细棒整个运动过程应用动能定理，有

当然对整个过程运用动能定理也是水到渠成的事情．浮力F浮的性质比较特殊，F浮与细棒发生的位移x之间成线性关系．像符合这种特点的力的花样题目相信在各个学校应该接触的比较多，例如：弹簧的弹力作功问题．所以学生必定具备解答的能力．

3． 2 定积分求解

在思路三中，从最基本的力的角度可以发现浮力是变力，题目中也是求速度v，学生也容易把思维定位到研究过程中运动的具体性质，研究加速度a的变化情况，发现a变化，也就容易联系到微积分．其实原文题目已经出现在高中竞赛题中，另外各省市的数学高考要求不同，有的省市早已把大学内容定积分列入高中数学高考必考部分，所以部分中学生已经具有较高的应用数学方法处理物理问题的能力．即使有的省市不列入高考必考范围内，但是对于一些中高档次的学校也是作为竞赛中、或者普通的方法介绍给学生．现在高考命题对于学生应用数学方法处理物理问题的能力要求越来越高，不管情况如何，个人还是建议教师可以把定积分的思想方法介绍给学生，再者在模拟题中已经不时的在渗透着微积分思想．

【例1】如图2所示，两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的x Oy平面内，导轨与x轴平行，左端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在垂直纸面向里的磁场，金属棒质量为m，电阻为r，与金属导轨垂直放置，且接触良好．开始时，金属棒位于x＝0处，现给金属棒一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计．若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足B2＝kx，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x．

图2

解析：

在解答出来该题的学生中，运用积分处理问题的同学还是占有一定比例的．上面积分和动能定理两种思路应该详细、重点地介绍给学生．

3． 3 问题分析

原文中用类比方法通过浮力与弹力的类比，引入浮力势能的概念，是一种很巧妙的思维方法，同时也拓展了学生的思路．但是该种思维方法具有特殊性，思维方法越特殊，那么对于中学生的能力要求也就越高．也就说该种题目作为试题的话，在解答出的学生中是占的比例也不高．原文解答中机械能守恒的研究对象也没有讲清楚．浮力势能概念本身并不重要，但是类比的思想和创新精神值得学习．

3． 4 高考展望

高考命题以能力立意为主，所以现在有些大学物理与高考物理之间的界限越来越模糊．大学物理建立在高等数学的基础上追求定量计算；高中阶段由于数学能力的限制，追求的是定性分析．命题专家就以中学物理知识为储备、大学物理为背景研究出了一些新颖题目．

图3

【例2】如图3，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B．若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦．设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2，已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是

解析：如果要定量计算的话，会牵涉到大学中的转动惯量、转动定律等概念．但是这不是命题专家们的立意．命题考查的是能力．怎么处理呢？

极限法：假设滑轮的质量m＝0；问题的还原：质量为m1的A与质量为m2的B构成的简单的连接题：设m1＜m2

令A，B，C，D答案中的m＝0，只有选项C符合条件．故本题答案为选项C．

1 张晓森．用中学物理方法巧解一道大学物理习题．物理教师，2011（1）：32