杆系结构的拓扑易损性分析

刘文政，叶继红

（东南大学 混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096）

建筑结构在规定的设计使用年限内应满足安全性、适用性和耐久性要求，同时在偶然事件发生时及发生后，仍能够保持必需的整体稳定性［1］。除此之外，结构在遭受到设计阶段无法估计的意外荷载或作用时，不应发生与其不相称的失效或垮塌，即结构应具有鲁棒性［2］。例如1968 年伦敦 Ronan Point公寓的倒塌［3］、2001年纽约世贸大厦的倒塌［4］及2004年法国戴高乐机场候机厅顶棚的倒塌［5］均由意外荷载作用下局部单元失效引起的，表明结构缺乏必要的鲁棒性。

现阶段对结构鲁棒性的要求多从概念设计的角度、依据工程经验加以把握。如采用合理的结构体系、增加结构的延性、加强构件之间的连接、增加冗余度等，但缺乏必要的理论基础［6］。为了研究结构的鲁棒性，一些学者从鲁棒性相反的方面，即易损性进行研究。易损性是指结构对相对较小的损伤、摄动或改变产生不成比例的较大破坏后果的敏感性，它反应了结构对于意外损伤的承受能力［7］，其含义包含三个方面：系统所承受的作用及其对系统引起的损伤、结构保持完整的能力、损伤引起的后果。易损性可以分为三种，即内在易损性、与特定作用相关的易损性、整体易损性［8］。Lind［9］采用概率的方法计算结构的易损性，将其定义为损伤系统的失效概率与完整系统的失效概率的比值。Augusti［10］将易损性定义为结构对损伤的敏感度，即为达到或超越损伤的条件概率。柳承茂等［11］提出基于刚度的结构构件重要性评估方法，通过最小势能原理证明构件重要性与结构冗余度的关系，能够反应结构中的薄弱环节。于刚等［12］讨论了结构中冗余杆件配置的有效性及不同损伤场景对于结构性能的影响程度。Wu等［13-15］提出结构的易损性主要源于结构内部本身的构形及连接程度，并针对平面结构建立了构形易损性理论。Agarwal［16-17］进一步将其推广应用到简单的三维结构中。构形易损性分析与特定荷载作用下的常规响应分析和可靠度分析不同，它是从结构自身拓扑关系入手，分析结构中存在的薄弱部位，并识别出结构损伤与破坏后果不成比例的破坏模式。由于分析过程中不涉及荷载，因此避免了实际作用于结构上的荷载及其组合难以确定的问题，其分析结果具有普适性。

本文详细阐述了结构构形易损性理论，从刚度的角度分析了节点构形度的物理意义，基于凝聚准则建立结构拓扑关系层级模型，识别出结构内部连接最薄弱的部分；并通过对结构拓扑关系层级模型拆解分析，识别出结构具有易损性的各种破坏模式，并通过破坏模式评价指标的计算，确定结构的最小破坏模式、最易发生破坏模式、完全破坏模式及最大破坏模式共四种破坏模式。应用C++语言编制相应的分析程序，并对平面桁架、平面刚架及网壳结构进行分析，结果表明易损性分析能够有效反应结构的薄弱部位，同时能够识别结构损伤与失效后果具有不成比例的破坏模式，为采取合理措施降低结构内在易损性（安全隐患）提供理论依据。

1 结构易损性理论

1.1 节点构形度

将结构整体刚度矩阵［K］写成n×n阶分块子矩阵的形式［18］，即：

式中：n为结构的节点数量。

将式（1）中位于主对角线上的子矩阵［K］kk称之为节点jk的相关刚度矩阵。［K］kk为对称正定矩阵，其维数c与节点处交汇的单元数量无关。

根据整体刚度矩阵［K］，建立结构弹性有限元方程，即：

式中{F}={{F}1，{F}2，…，{F}n}T为结构总体荷载向量，{X}={{X}1，{X}2，…，{X}n}T为结构总体位移向量。

将式（2）中与［K］kk相应的等式部分提取出来，即：

根据对称正定矩阵的性质，将相关刚度矩阵［K］kk对角化［19］，即：

式中［P］为c阶正交矩阵，［H］为c阶对角矩阵，c为相关刚度矩阵［K］kk的维数。矩阵［H］的主对角线元素为矩阵［K］kk的特征值λi，且λi大于0。

将式（4）两边左乘矩阵［P］和右乘矩阵［P］-1，即：

将式（5）代入到式（3）中，且等式两边左乘矩阵［P］-1，即：

令：

将式（7）、式（8）代入式（6）中得到：

将式（9）展开，即：

当{X}'k为单位向量时，即：x'1=x'2=…=x'n=1，式（10）简化为：

定义λi（i=1…c）为节点主刚度系数，与λi对应特征向量的方向为节点主位移轴方向。根据式（11）可以看出λi代表着结构在节点jk处沿着相应主位移轴方向抵抗荷载的能力，其大小与总体坐标系的选取无关。

基于主刚度系数的物理意义，定义节点jk的构形度：

式中：［K］kk为节点jk的相关刚度矩阵，c为相关刚度矩阵［K］kk的维数，qk称之为节点jk的构形度。qk的取值与结构总体坐标系选取无关。

算例：图1（a）、（b）所示分别为节点铰接和节点刚接的双杆体系［20］。设单元m1、m2特性如下：截面积A1=A2=1.180 5 cm2，惯性矩I1=I2=0.037 5 cm4，长度l1=l2=0.33 m，弹性模量E=72 409 MPa。m1与m2的夹角为α，m1、m2与水平方向的夹角为β。

图1 平面双杆体系Fig.1 Planar double-pole system

在节点铰接情况下（图1（a）），当构件夹角α取0°～180°时，根据式（12）计算节点构形度q2随夹角α的变化规律如图2所示。设图1（a）中荷载Ph=Pv=300 kN，则结构分别在水平荷载Ph和竖向荷载Pv作用下，节点j2的位移随夹角α的变化规律如图3所示。

在节点刚接情况下（图1（b）），当构件夹角α取0°～360°时，根据式（12）计算节点构形度q2随夹角α的变化规律如图4所示。设图1（b）中荷载Ph=Pv=3 000 N，当α取0°～180°时，结构分别在水平荷载Ph和竖向荷载Pv作用下节点j2的位移随夹角α的变化规律如图5所示。

图5 刚接双杆体系节点j2的位移随夹角α变化规律Fig.5 Variety rule of nodal displacement of j2with α for rigid double-pole system

对比图2与图3、图4、图5可以得出：在节点铰接和刚接两种情况下，节点构形度q2的变化规律与荷载作用下节点位移的变化规律相似。当α较小时，结构在水平荷载作用下的节点位移较大，反应结构在此节点处沿水平方向抵抗荷载的能力较弱，相应此时节点构形度q2相对较小。当α较大时，结构在竖向荷载作用下的节点位移较大，反应结构在此节点处沿竖直方向抵抗荷载的能力较弱，相应此时节点构形度q2也相对较小。当α等于90°时，结构在两个方向上位移相等，说明结构在节点j2的两个主位移轴方向上抵抗荷载的能力接近，结构在任何方向上都不存在明显的薄弱部位，相应此时节点构形度q2取得最大值。因此节点构形度的大小代表着结构在此节点处抵抗任意方向荷载的能力。节点构形度较大，表明此节点处抵抗任意方向荷载的能力较高，此节点处也就较牢固；相反，节点构形度较小，表明此节点在某个方向上抵抗荷载的能力较弱，即此节点处具有易损性。上述节点构形度的物理意义为进一步说明整体结构及其子结构（结构簇）构形好坏的评价标准——结构簇构形度Q建立基础。

1.2 结构环和结构簇

在杆系结构拓扑关系中，将能够保持平衡、冗余度≥0的荷载传递路径称之为结构环。其特征为能够抵抗施加于其上的任意平衡荷载。在构形分析中，将结构环视为结构系统中抵抗荷载和传递位移的单元。结构环可分为静定结构环和超静定结构环。将所需构件组成数量最少的结构环称之为初始结构环。平面结构的初始结构环如图6所示，空间结构的初始结构环如图7所示。

结构簇为能够构成结构环的一组相互连接的单元及连接节点。根据结构拓扑关系层级模型中结构簇的位置，结构簇分如下四类：

（1）初始结构簇：结构系统中的单个单元称为初始结构簇，在结构拓扑关系层级模型中位于最底层级。

（2）枝簇：由多于一个单元构成的结构簇称为枝簇，在结构拓扑关系层级模型中位于中间层级。它是由位于较低层级的结构簇构成。

（3）完整簇：将整个结构视为一个结构簇，称为完整簇。它包含结构中所有单元和节点，在结构拓扑关系层级模型中位于最高层级。

（4）参考簇：刚度无穷大、不会发生损伤的结构簇称为参考簇。参考簇一般为结构的基础部分。

结构簇具有如下四种特性：

（1）构形度：结构簇内部所有节点构形度之和除以结构簇的节点数量，其计算式如下：

式中：n为结构簇的节点数量，qk为节点jk的构形度，根据式（12）进行计算。构形度的大小与单元特性、节点类型及构件汇交角度有关。根据节点构形度的物理意义，结构簇构形度Q为结构簇构形好坏的标准。

（2）损伤需求：对结构簇造成损伤所需要作用的大小。根据主刚度系数的物理意义，定义损伤需求与结构簇丧失的自由度对应的主刚度系数λi成正比。假设一个损伤事件只释放结构簇中某个节点或单元一个主方向的自由度，则损伤需求计算如下：

式中：ω为比例常数，λi为结构簇丧失的自由度对应的主刚度系数，m为结构簇发生损伤所有可能的方式。在结构簇发生损伤所有可能的方式中，所需作用最小的损伤需求称为最小损伤需求，即：

式中参数的含义与式（14）相同。最小损伤需求的大小表明外部作用对结构簇产生损伤的难易程度。

（3）节点连接度：结构簇内部所有节点处交汇的单元数量之和，即：

式中：D（jk）为结构簇中节点jk处交汇的单元数量，n为结构簇的节点数量。节点连接度的大小表明此结构簇和其他结构簇进一步组成结构环的能力。

（4）距参考簇的距离：结构簇内部所有节点距参考簇的距离之和除以节点数量，其计算式如下：

式中：δ（jk）为结构簇中节点jk距参考簇的最短距离，n为结构簇的节点数量。结构簇与参考簇的距离愈小，其与参考簇分离所引起的后果就越大，因此将距参考簇的距离作为和损伤后果有关的度量标准。

图8 选择种子簇程序流程Fig.8 Program flow of selecting seed clusters

1.3 凝聚过程

凝聚过程是应用聚类分析中的层次凝聚方法［21］，依据凝聚准则，建立结构的拓扑关系层级模型。其凝聚准则如下：

（1）构形度最大（Q）；

（2）最小损伤需求最大（D）；

（3）节点连接度最大（N）；

（4）距参考簇的距离最大（Dis）；

（5）随机选择（R）。

凝聚过程主要分为三个阶段：初始凝聚阶段、二次凝聚阶段、最后凝聚阶段。

初始凝聚阶段是形成自由簇的过程，其步骤如下：① 根据结构拓扑关系的特点，选择合适的初始结构环。② 根据凝聚准则选择种子簇。将结构的每一个单元视为初始结构簇，识别结构中存在的初始结构环，依次根据五项凝聚准则确定唯一的初始结构环作为种子簇，其程序流程如图8所示。③ 根据种子簇形成自由簇。首先识别出能够和种子簇构成结构环的单元，并计算结构环构形度Q，若构形度Q增加时，依次按照上述五项凝聚准则选择合适的单元，将其并入种子簇中形成新的结构簇。若存在端节点都位于结构簇内部的初始单元，由于将其并入此结构簇之后构形度一定增加，所以优先将其并入此结构簇中。重复上述凝聚过程，若合并之后结构簇的构形度Q减少，停止此次凝聚，此时的结构簇称为自由簇。重复②、③，直到结构不存在种子簇停止。初始凝聚阶段总程序流程如图9所示。初始凝聚阶段结束之后，整个结构中只有自由簇和不能形成结构环的初始结构簇。

二次凝聚阶段是将初始凝聚阶段形成的自由簇和剩余初始结构簇进一步合并的过程。选择合并前后构形度增加最大或者减小最小的结构簇进行合并，其前提条件为合并之后的结构簇为几何不变体系。重复凝聚，直至除了参考簇以外，整个结构凝聚为一个结构簇。最后凝聚阶段是在二次凝聚阶段的基础上，将参考簇并入上部结构簇中。二次凝聚阶段和最后凝聚阶段程序流程图如图10所示。

基于上述凝聚过程可以建立结构拓扑关系层级模型。最低层级是由初始单元和节点构成；最高层级只含有完整簇；中间层级是由一些结构簇连接构成。由于凝聚过程是首先将使构形度增加的单元并入，因此保证了结构簇内部单元之间的连接程度大于内部单元与外部单元之间的连接程度。

图10 二次凝聚阶段及最后凝聚阶段程序流程Fig.10 Program flow of secondary clustering process and final clustering process

1.4 拆解过程

在构形易损性分析中先不考虑引起损伤的作用性质，只考虑损伤引起的后果。为了简化分析，假定单元损伤的位置为：① 单元的中点位置；② 单元的某一端部；③ 单元的两端，且假定在破坏过程中单元损伤的方式是单一的（图11）。

图11 损伤事件的发生位置和方式Fig.11 Locations and manners of damage occurred

实际结构存在的破坏模式很多，为了识别结构具有易损性的破坏模式，定义破坏模式的评价指标［22］如下：

（1）分离系数γ［Fh］：为失效后结构构形度的丧失与失效前完整结构构形度的比值，即：

式中：Q［S］为完整结构的构形度，Q［S＇］为损伤或失效后结构的构形度。分离系数是衡量结构失效后果的指标。结构没有发生损伤时，其分离系数为0；整个结构完全倒塌时，其分离系数为1。

（2）相对损伤需求Eγ［Fh］：指结构破坏模式的损伤需求E［Fh］与结构最大损伤需求Emax［Fh］的比值。即：

式中：Emax［Fh］为结构系统中所有单元失效所需要的损伤需求。

（3）易损性指数ξ［Fh］：指破坏模式的分离系数与其相对损伤需求的比值。即：

易损性指数为无量纲参数，其大小反应了结构损伤与破坏后果的不成比例性。易损性指数愈大，表明损伤所引起后果的不成比例性愈大，结构的易损性就愈高。

根据分析目的和破坏模式的评价指标，引入以下四种破坏模式：

（1）最易发生的破坏模式

具有最小损伤需求的破坏模式定义为最易发生的破坏模式，它是由结构中最薄弱单元的失效引起的，是结构系统最容易发生的破坏模式。

（2）最小破坏模式

结构系统中连接最薄弱的部分发生破坏引起的破坏模式，发生破坏的位置是凝聚过程中最后并入的结构单元或者结构簇。

在结构系统中，一个单元可能具有较低的损伤需求，但与其它结构簇之间可能具有较高的连接程度，因此定义最易发生的破坏模式和最小破坏模式识别结构系统中潜在的薄弱部位。其中最易发生的破坏模式为结构最薄弱单元的失效，最小破坏模式为结构中连接最薄弱的部位发生失效。

（3）最大破坏模式

易损性指数最大的破坏模式定义为最大破坏模式，即需要很小的损伤需求就能够引起较大的失效后果。

（4）完全破坏模式

结构中可能存在多种整体倒塌的破坏模式，在这些整体倒塌的破坏模式中，损伤需求最小的破坏模式定义为完全破坏模式。在结构构形易损性分析中，整体倒塌的含义即为所有的结构单元都与参考簇脱离或发生几何大位移。

对于最大破坏模式和完全破坏模式，需通过拆解枝簇识别。其拆解准则如下：

（1）下一层级的结构簇是非参考簇（NR）；

（2）和参考簇能够组成结构环（FR）；

（3）和参考簇直接相连，但不能构成结构环（CD）；

（4）是初始结构簇，并非枝簇（L）；

（5）构形度最小（SQ）；

（6）损伤需求最小（SD）；

（7）位于较高层级（CL）。

具体拆解过程如下：

（1）选择结构拓扑关系层级模型中的一个枝簇，将结构中非此枝簇的单元与参考簇合并，视为扩展参考簇。若选择整簇进行分析，则扩展参考簇仍为原参考簇。

图12 层级模型拆解流程Fig.12 Unzipping flow of hierarchical modal

选择拆解的枝簇不同，得到的破坏模式可能也不同。对各种破坏模式按照式（18）～式（20）计算评价指标。本文具体程序实现时，式（18）中的Q［S'］指结构发生失效后，仍保持几何不变特性的剩余部分的构形度。如果此时结构中所有剩余单元全部可动，则Q［S'］等于0，相应的分离系数等于1，结构发生整体倒塌。分离系数为1且相对损伤需求最小的破坏模式为完全破坏模式。易损性指数最大的破坏模式为最大破坏模式。

2 平面桁架结构易损性分析

图13所示为平面桁架结构布置图，节点编号、单元编号及构件截面特性如图中所示。单元弹性模量E=2.06×105N/mm2，根据凝聚过程和拆解过程，编制C++程序对该结构进行拓扑易损性分析。

2.1 凝聚过程

图13 平面桁架结构布置图Fig.13 Structural arrangement of planar truss

将结构中的29个单元（m1～m29）分别视为初始结构簇（C1～C29），基础视为参考簇C30。选取初始结构环形式如图6（a）所示。首先识别出结构共存在15个初始结构环，根据凝聚准则，从中选择构形最优的结构环{C11，C10，C8}作为种子簇，其编号为C31（图14（a））。然后识别能够和C31组成结构环的初始结构簇，即{C31，C5，C6}、{C31，C9，C12}，计算凝聚前后构形度的最大差值 ΔQmax大于0，依据凝聚准则，选择{C31，C5，C6}组成上一层级的结构簇 C32（图 14（b））。按照上述过程依次将周边单元并入结构簇中，直至ΔQmax小于0停止凝聚，得到结构簇C34称为自由簇（图14（c）～（d））。C34形成之后，从结构的剩余单元中重新寻找种子簇，按照上述自由簇形成过程依次形成自由簇 C38、C39、C40、C41（图 14（e）～（k））。此时结构中已不存在由初始结构簇组成的结构环，故初始凝聚阶段结束。

图14 平面桁架结构凝聚过程Fig.14 Clustering process of planar truss

初始凝聚阶段结束之后，整个结构中的结构簇为C4、C13、C17、C28、C34、C38、C39、C40、C41（图 14（k）），其中 C34、C38、C39、C40、C41 为自由簇，C4、C13、C17、C28为初始结构簇。根据Q值增加最大或减小最小的原则，选择{C34，C39，C13}凝聚为上一层级的结构簇C42（图14（l））。同理，将整个上部结构逐步凝聚成一个结构簇C45（图14（m）～（p））。

二次凝聚阶段结束之后，将参考簇C30并入上部结构簇C45中得到完整簇C46（图14（q））。基于上述凝聚过程，建立结构拓扑关系层级模型如图15所示。

2.2 拆解过程

假定拆解过程中单元的损伤方式为单元中部形成铰（图11（g））。基于结构拓扑关系层级模型（图15），首先从位于层级模型顶端的枝簇C46开始拆解，具体过程如下：

（1）由于C46是由C45和C30组成，其中C30为参考簇，根据拆解准则NR，选择 C45进行下一步的拆解；

（2）C45由 C44、C40、C4 组成，C44、C40、C4 均不是参考簇，只有C44与参考簇形成结构环，因此根据拆解准则FR，选择C44进行下一步的拆解；

（3）C44 由 C43、C41、C28 组成，C43、C41、C28 均不是参考簇，只有C43和参考簇形成结构环，因此根据拆解准则FR，选择C43进行下一步的拆解；

（4）C43 由 C42、C38、C17 组成，C42、C38、C17 均不是参考簇，C42、C38与参考簇相连，C42、C38都不是初始结构簇，C42的构形度小于C38的构形度，因此根据拆解准则SQ，选择C42进行下一步的拆解；

（5）C42 由 C34、C39、C13 组成，C34、C39、C13 均不是参考簇，只有C34与参考簇相连，因此根据拆解准则CD，选择C34进行下一步的拆解；

（6）C34由 C33、C12组成，C33、C12均不是参考簇，只有C33与参考簇相连，因此根据拆解准则CD，选择C33进行下一步的拆解；

（7）C33 由 C32、C7、C9 组成，C32、C7、C9 均不是参考簇，只有C32与参考簇相连，因此根据拆解准则CD，选择C32进行下一步的拆解；

（8）C32 由 C31、C5、C6 组成，C31、C5、C6 均不是参考簇，C31、C5与参考簇相连，由于C5为初始结构簇，因此根据拆解准则L，选择C5引入损伤。C5（图13）失效之后结构单元及节点编号如图16所示。

C5失效没有引起结构整体或局部发生倒塌，因此在C5失效的基础上，通过凝聚过程重新建立结构拓扑关系层级模型（图17）。按照前述拆解过程，从位于层级模型（图17）顶端的枝簇C44开始拆解，识别出第二个引入损伤的单元为C9（图16）。具体拆解过程亦如图17所示，C9对应的原结构编号为C10（图13）。C5、C10失效之后结构单元及节点编号如图18所示。

C5、C10失效没有引起结构整体或局部发生倒塌，因此在C5、C10失效的基础上，再次重新建立结构拓扑关系层级模型（图19）。按照前述拆解过程，从位于层级模型（图19）顶端的枝簇C42开始拆解，识别出第三个引入损伤的单元为C7，具体拆解过程亦如图19所示。C7对应的原结构编号为C8（图13），此时结构发生整体倒塌。因此拆解枝簇C46（图15）得到的破坏模式是由单元m5、m10、m8（图13）失效引起的。根据对称性，单元m18、m23、m21也组成一种失效模式。

为了识别结构中可能存在的能够引起连续倒塌的局部破坏模式，对图15中的所有枝簇（C31～C45）依次按照上述拆解-凝聚-拆解-…的过程进行搜寻。将非此枝簇中的单元与参考簇合并，视为扩展参考簇。例如对枝簇C42进行拆解时，其结构布置如图20所示。最终对所有枝簇拆解得到的破坏模式如表1所示。

表1及后文的表2、表3中只含有本文1.4节定义的完全破坏模式和最大破坏模式，而无法包含最小破坏模式和最易发生的破坏模式，这两种模式是分别根据结构层级模型中单元凝聚的先后次序和单元损伤需求的大小得到的。

根据表1和1.4节的定义，可以看出最大破坏模式是拆解枝簇C42得到的，拆解结果为单元m13、m14失效（图21（a）），该模式的结构损伤与破坏后果的不成比例性最大，其分离系数为1.0，因此也是完全破坏模式。根据对称性，单元m17、m14失效亦为最大破坏模式和完全破坏模式（图21（b））。根据图15结构拓扑关系层级模型，单元m4（图13）最后凝聚到结构完整簇中（除参考簇C30外），并根据对称性，最小破坏模式是单元m4或m28失效引起的（图21（c）～（d））。通过计算每个单元的损伤需求，得到单元m4、m13、m14、m17、m28的损伤需求最小，因此最易发生的破坏模式是 m4、m13、m14、m17、m28 中任意一个单元失效引起的（图21（c）～（g））。

图20 C42结构布置图Fig.20 Structural arrangement of C42

表1 平面桁架结构的破坏模式及评价指标Tab.1 Failure scenarios and indexes of planar truss

图21 平面桁架的易损性破坏模式Fig.21 Vulnerable failure scenarios of planar truss

3 平面刚架结构易损性分析

图22所示为平面刚架结构布置图。设单元弹性模量为2.06×105N/mm2，截面积A为0.021 6 m2，惯性矩I为0.001 7 m4。根据凝聚过程和拆解过程，编制C++程序对该结构进行易损性分析。

图22 平面刚架结构布置图Fig.22 Structural arrangement of planar frame

3.1 凝聚过程

将结构中的15个单元（m1～m15）分别视为初始结构簇（C1～C15），基础视为参考簇C16。选取结构环形式如图6（b）所示。根据凝聚准则，选择{C5，C13}作为种子簇，其编号为C17。然后依次将周边单元并入，直至ΔQmax小于零停止，得到自由簇C19。然后从结构剩余单元中重新寻找种子簇，按照上述自由簇形成过程形成新的自由簇C23、C27。初始凝聚阶段结束之后，根据二次凝聚阶段的凝聚准则，首先将C23和C19合并得到C28，然后将C28和C27合并得到C29，最后将C29和C1合并得到C30。整个上部结构合并成一个结构簇C30，二次凝聚阶段结束。最后将参考簇C16并入结构簇C30中形成完整簇C31，凝聚过程结束。基于凝聚过程，建立结构拓扑关系层级模型如图23所示。

图23 平面刚架结构层级模型及枝簇C31拆解过程Fig.23 Hierarchical modal of planar frame and unzipping process of C31

3.2 拆解过程

假定拆解过程中单元损伤方式为单元中部发生断裂（图11（d））。首先从位于层级模型顶端的枝簇C31开始拆解，具体过程如下：

（1）由于C31是由参考簇C16和C30形成，其中C16为参考簇，根据拆解准则NR，选择 C30进行下一步的拆解；

（2）C30 由 C29，C1组成，C29，C1均不是参考簇，且均与参考簇相连，而C1是初始结构簇，因此根据拆解准则L，选择C1引入损伤。C1失效之后结构单元及节点编号如图24所示。

图24 C1失效之后结构布置图Fig.24 Structural arrangement after C1 failure

C1失效没有引起结构整体或局部发生倒塌，因此通过凝聚过程重新建立结构拓扑关系层级模型（图25）。根据拆解准则，从位于顶端的枝簇C29开始拆解，得到第二个发生损伤的单元为C1（图24）。C1对应的原结构编号为C2（图22）。C1、C2失效之后的结构单元及节点编号如图26所示。

图25 C1失效之后结构层级模型层级及拆解过程Fig.25 Hierarchical modal after C1 failure and unzipping process

C1、C2 失效并没有引起结构发生倒塌，因此通过凝聚过程重新建立结构拓扑关系层级模型（图27）。从位于层级模型顶端的枝簇C27开始拆解，得到第三个发生损伤的单元为 C1（图26）。C1对应的原结构编号为C3（图22）。C1、C2、C3失效后结构发生倒塌，程序终止。

对图23中的所有枝簇（即C17～C30）按照上述拆解-凝聚-拆解-…的过程进行搜寻，得到破坏模式如表2所示。

根据表2可以得出最大破坏模式是拆解枝簇C31/C30得到的，拆解结果为单元m1、m2、m3失效（图28（a）），其分离系数为1.0，因此也为完全破坏模式。根据图23结构拓扑关系层级模型，并利用对称性，得出最小破坏模式为单元m1或m3失效所引起的破坏模式（图28（b）～（c））。由于每个单元的损伤需求相等，因此最易发生的破坏模式为结构中任意一个单元失效所引起的破坏模式。

图26 C1、C2失效之后结构布置图Fig.26 Structural arrangement after C1，C2 failure

表2 平面刚架结构破坏模式及评价指标Tab.2 Failure scenarios and indexes of planar frame

4 网壳结构易损性分析

4.1 结构布置

图29所示为网壳结构布置图，周边为固定铰支座。跨度L为16 m，矢跨比f/L为0.2，弹性模量E为2.06 × 105N/mm2，泊松比为 0.3。根据自行编制的C++程序进行凝聚过程和拆解过程分析。

4.2 结构层级模型

选取结构环的形式如图6（b）所示，根据凝聚准则建立结构拓扑关系层级模型如图30所示。

图29 网壳结构网格布置图Fig.29 Structural arrangement of reticulated shell

4.3 拆解过程

假设拆解过程中构件损伤方式为中部发生断裂（图11（d））。对图30中的所有枝簇（C44～C85）分别按照拆解-凝聚-拆解-…的过程进行破坏模式的识别，并计算评价指标，其结果如表3所示。

通过对比表3中的易损性指数可以得到：最大破坏模式是枝簇C44拆解得到的，其结果为单元m5、m1失效（图31（a）），因此该破坏模式的结构损伤与破坏后果的不成比例性最大。通过对比表3中的分离系数可以得出：整体倒塌破坏模式共存在七种，分别为拆解枝簇 C84/C85、枝簇 C83、枝簇 C82、枝簇 C81、枝簇C80、枝簇C79、枝簇C54得到的破坏模式，其中拆解枝簇C54得到的破坏模式的易损性指数最大，因此该模式为完全破坏模式（图31（b））。根据网壳结构拓扑关系层级模型（图30），可以得出最小破坏模式为网壳周边环向任一构件发生破坏，同时由于周边环向构件的损伤需求最小，因此最易发生的破坏模式亦为网壳周边环向任一构件发生破坏（图31（c））。

表3 网壳结构破坏模式及各项指标Tab.3 Failure scenarios and indexes of reticulated shell

表3中去除整体倒塌破坏模式（分离系数为1.0）可以得出：拆解枝簇C75～C78得到的破坏模式的失效构件均位于网壳支座附近，其易损性指数范围为1.13～2.61；拆解枝簇C44～C53得到的破坏模式的失效构件均位于网壳中央部位，其易损性指数范围为3.73～7.99，即拆解枝簇C75～C78得到的易损性指数均小于拆解枝簇C44～C53得到的易损性指数，说明本网壳中央部位破坏对整体结构构形度的丧失比例大于周边构件破坏对结构构形度的丧失比例，即该网壳中央部位破坏引起后果的不成比例性更大。

图30 网壳结构拓扑关系层级模型Fig.30 Hierarchical modal of reticulated shell

图31 网壳破坏模式Fig.31 Vulnerable failure scenarios of reticulated shell

5 结论

（1）以双杆体系为例，对节点构形度和荷载作用下的节点位移随双杆夹角的变化规律进行分析对比，结果表明节点构形度能够反应结构在此节点处抵抗任意方向荷载的能力，从刚度角度验证了结构簇构形度Q为结构簇构形好坏的定量评价指标，因此根据构形度等凝聚准则建立的拓扑关系层级模型中，每一层级结构簇内部单元之间的连接程度大于内部单元与外部单元之间的连接程度，为结构薄弱部位的识别及层级模型的拆解垫定了理论基础。

（2）针对结构构形易损性理论，本文编制程序予以实现，并将其应用到平面桁架、平面刚架及单层网壳结构中。算例分析表明：构形易损性分析能够从结构内因方面有效的揭示结构拓扑关系存在的薄弱环节；通过层级模型的拆解分析，识别出结构损伤与破坏后果不成比例的破坏模式，包括最小破坏模式、最易发生破坏模式、完全破坏模式及最大破坏模式共四种破坏模式。由于分析过程中仅涉及到作用对结构所造成的损伤以及损伤引起的后果，而与作用或荷载的具体形式无关，因此其分析结果具有普适性，为已建结构的监测、加固和待建结构的设计提供理论依据。

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