离心场中含旋转梯度影响的弹性体动力特性分析

刘占芳，颜世军，冯晓伟

(重庆大学 资环学院工程力学系，重庆 400044)

离心场中含旋转梯度影响的弹性体动力特性分析

刘占芳，颜世军，冯晓伟

(重庆大学 资环学院工程力学系，重庆 400044)

以含偶应力的弹性理论为基础，考虑小变形状态下弹性体的平动变形与旋转梯度，推导并给出了离心环境中一般弹性体运动与变形耦合动力学方程，以转角为独立变量，利用罚方法得到方程组的约束变分形式，构造了8结点48自由度的实体等参元，建立了离心场中含旋转梯度的一般弹性体动力特性分析的有限元模型。对绕中轴线旋转的悬臂梁进行动力特性分析，频率随转速的关系表明离心力和科氏力降低了该梁的一阶频率，但科氏力导致了二阶频率的上升，旋转梯度效应提高了弹性体的静力刚度，导致各阶频率出现刚化效应。

旋转梯度;刚柔耦合;固有频率;有限元分析

随着现代机械系统中材料轻质柔性化以及机构的运行速度加快和运行精度要求的提高，柔性体运动与变形耦合动力学问题已成为当前科学研究领域的重要课题。对柔性体大范围运动与变形的耦合动力行为研究始于20世纪60年代，经过50多年的发展，国内外学者［1－7］建立了比较成熟的刚柔耦合动力学模型，并对柔性结构特别是板梁结构的初应力及几何非线性下的动力刚化效应进行了深入研究。然传统柔性体运动与变形耦合动力学模型基于经典连续介质力学，由于介质均匀化假设，经典连续介质力学得出质点的应力状态只与该点的变形与材料特性有关，而忽略了旋转梯度引起的偶应力的影响。随着连续介质力学的发展，旋转梯度引起的偶应力理论［8－10］得到了广泛的重视，相比经典弹性体，考虑旋转梯度效应的弹性体拥有更多的材料参数，该理论考虑质点间相互作用，得到了非对称应力张量，迄今已在弹性体应力集中［11］、裂纹扩展及微结构［12－14］静力分析中得到了广泛应用，并取得了丰硕的成果，但对考虑旋转梯度的偶应力弹性理论框架下的柔性体运动与变形耦合研究尚显不足，该领域的研究对现代高新技术领域中具有强烈尺度效应的微机电系统的发展具有重要意义。

考虑旋转梯度的偶应力弹性理论由于涉及到位移二阶导数的求解，为有限元数值分析带来了困难，构造满足C0型连续性要求的低阶元以及直接构造满足C1型连续性要求的高阶元是目前对偶应力理论进行数值求解的主要途径。Wood［15］和 Herrmann［16］通过转化求解变量，利用拉格朗日乘子法构造了混合单元。肖其林等［17］将弹性力学中的约束变分原理推广到偶应力理论，并以罚函数的形式引入约束条件，提出了一种杂交/混合单元。黄若煜等［18］考虑到偶应力理论与Mindlin板理论之间的对偶关系，构造了以应力函数为变量的单元。Soh等［19］借用薄板有限单元格式进行组合叠加得到了一种满足C1连续性要求的18结点平面三角形单元。王卫东等［20］通过采用non－Sibsonian插值方法构造了近似的位移场向量，发展了计算偶应力理论的无网格法。

对含旋转梯度影响的一般弹性体在离心场中的动力学问题，本文基于Mindlin偶应力弹性理论，推导并给出了小变形状态下一般弹性体运动与变形耦合动力学方程，应用约束变分原理，考虑转角为独立变量，构造了8结点48自由度的六面体等参元，采用有限元方法分析了离心场中悬臂梁的离心软化效应以及科氏力的作用，考察了旋转梯度效应对离心场中弹性体动力特性的影响。

1 离心场中一般弹性体的动力学方程

图1 离心场中弹性体的运动与变形Fig.1 Motion parameters and deformation of the elastic body in centrifugal field

考虑弹性体绕一固定旋转轴做回转运动如图1，e1'e2'e3'为固定坐标系，e1e2e3为固结在弹性体中某一点的浮动坐标系，弹性体旋转运动形成惯性力，惯性力与弹性力的相互转换导致弹性体的振动，在小变形假设上弹性体内任一点在固定坐标系下的矢径为：

其中：r'0为浮动坐标系原点在固定坐标系下的矢径，x0、u为弹性体中任意一点在浮动坐标系下的初始位置和变形。R为矢量从浮动坐标系到固定坐标系下的转换矩阵。在恒转速离心场中，矢径r'对时间的一阶和二阶导数可得弹性体上任意一点在固定坐标系下的速度 v'和加速度a'为：

其中：ω'，ω分别为固定坐标系和浮动坐标系描述的弹性体刚体转动角速度矢量。

在浮动坐标系下，对于弹性体中的任意一点，由连续介质力学，动量平衡方程为：

式中：t为弹性体上任意一点所对应的非对称应力，ρ为密度，f为体力，a为浮动坐标所描述的弹性体任意一点的加速度矢量。由式(3)可得弹性体上任意一点的加速度项在浮动坐标系下的矢量为：

式中：r0为浮动坐标描述的矢径r'0。结合式(4)和式(5)可得浮动坐标系下弹性体内微分形式的动量守恒方程为：

为方便起见右端项计为广义惯性力 Fg，则式(6)可写为：

在浮动坐标系下，基于连续介质力学，弹性体中的任意一点的动量矩平衡方程为：

其中：m为偶应力张量，b为采用浮动坐标描述的体力偶向量，∈为置换张量。由非对称应力t可分解为对称与反对称应力两部分t=σ+τ，将其代入式(8)，并对式(8)两边同乘置换张量∈可得反对称应力τ为：

而对称应力张量与置换张量的双点积为零，由式(9)求得反对称应力代入式(7)得动量守恒方程的另一种形式：

其中：ε为应变张量，λ为拉梅常数，μ为剪切模量，I为二阶单位张量，η为描述偶应力与曲率张量的关系系数，本文称为旋转模量，与材料内秉长度l和剪切模量有关η=μl2，对一般金属材料，内秉长度为微米量级，其大小取决于材料的微结构。

2 有限元离散

由虚功原理，式(10)和式(11)的变分形式写为：

应用格林－高斯公式式(13)的变分形式修正为：

由于旋转梯度为位移的二阶导数，有限元法分析时要求单元结点位移满足C1连续，为此考虑转角φ为独立变量，基于约束变分原理，令弹性体内的旋转矢量与宏观转角相等，则在单元内满足约束条件

采用线性Serendipity六面体单元对弹性体进行离散，并令单元内转角分布的型函数与位移型函数一致，则单元内任意点的位移向量de=［ueφe］T，ue=［uxuyuz］，φe=［φxφyφz］，由单元结点位移插值可得：

由曲率张量与偶应力张量的非对称性，令应变和应力向量及曲率张量和偶应力向量分别为：

结合式(16)，单元内应变－曲率张量和单元结点位移－转角的关系为：

D1为经典的三维线弹性本构矩阵，D2=4ηI9，I9为9×9的单位阵。

对广义惯性力项，定义与转角向量φ对应的反对称矩阵Ω，满足Ω·v=ω×v，v为任意矢量，则式(15)的广义惯性力项的矩阵形式为：

其中：Lu为经典的应变与位移关系矩阵，Lφ为旋转梯度与转角的关系矩阵。

对罚函数项，位移与转角的关系可写为：

其中：Lα为罚函数项与位移和转角关系矩阵。

3 离心场中悬臂梁动力特性分析

采用构造的六面体等参元对绕中轴线旋转的悬臂梁进行离散，应用给出的有限元分析模型计算梁的动力学特性，考察旋转运动与变形耦合的离心力和科氏力效应，并分析旋转梯度对离心场中悬臂梁动力特性的影响。

图2 悬臂梁几何参数Fig.2 Geometries of the rotating cantilever beam

如图2所示的绕中轴线旋转的悬臂梁，左端固定，其材料参数参考文献［10］，其中弹性模量 E=209 GPa，泊松比 v=0.31，旋转模量 η =2.88 Pa·m2，密度ρ=7.8×103kg/m3。梁长度为L，梁高度H，梁宽度B。

图3为L=1 m，H=0.1 m，B=0.1 m时梁频率随转速的变化关系，可以看出由旋转运动与变形耦合的离心力效应导致了该梁的一阶和二阶频率随转速的增加而减小，对结构刚度具有软化作用，而科氏力对一阶和二阶频率的影响则截然不同，悬臂梁旋转运动与变形耦合的科氏力效应导致该梁的一阶频率随转速的增加而降低，而二阶频率则随转速的增加而升高。由于该梁前两阶频率所对应的振动为沿梁截面高度和宽度方向的弯曲振动，二阶频率梁振动产生的变形将激起一阶频率所对应的振动方向的正科氏力，即相当于增加了附加惯性力阻碍该方向的振动，从而降低该方向下的振动频率，相反一阶频率下所对应的梁的振动引起的变形将激起二阶频率所对应的振动方向上的负的科氏力，从而提高该方向下的振动频率。由此可知，科氏力效应在振动方程中虽然具有阻尼的形式，但是其与阻尼对振动的贡献并不相同。

图3 悬臂梁固有频率随转速的关系Fig.3 The natural frequency for the beam varying with the rotating speed

图4为L=0.5 mm，H=0.05 mm，B=0.05 mm时，考虑旋转梯度效应下的弹性理论与经典弹性理论得到的无量纲频率随转速的变化，其中无量纲频率定义为离心场中考虑离心力和科氏力效应的计算所得频率与悬臂梁固有频率之比，ω为悬臂梁转速，f1、f2为悬臂梁的一阶与二阶固有频率。结果表明旋转梯度效应总体上提高了该梁在不同转速的离心环境下的共振频率，从而提高了旋转系统的临界转速。由于Mindlin偶应力理论忽略了介质中的微转动惯量，旋转梯度产生的偶应力只提高了弹性体的静力刚度，考虑旋转梯度影响的弹性理论计算所得频率与转速的关系相比于经典的弹性理论的计算结果具有一致性。

图6 两种内尺度下一阶固有频率随截面高度的变化Fig.6 The first natural frequency of the beam varying with the depth of section for the inner scale

对图2所示悬臂梁模型，在梁旋转频率与经典弹性理论所得固有频率之比为0.05的离心环境下，图5和图6分别考察了旋转模量以及尺寸效应对梁频率的影响。图5给出了不同弹性模量与旋转模量比E/η下梁的无量纲频率，其中无量纲频率定义为离心场中含旋转梯度影响的弹性理论计算所得频率与经典弹性理论所得固有频率之比，可知考虑离心力和科氏力效应的一阶与二阶频率与该梁固有频率随旋转模量的变化趋势一致，旋转梯度效应只提高弹性体的静力刚度，当E/η小于107时，旋转梯度效应对频率的影响已有所体现，随着比值的减小影响愈发明显。图6为两种内秉长度下离心场中考虑旋转梯度效应的一阶无量纲频率随梁截面尺寸的变化，可见随着梁高度减小至30 μm时，相对于经典弹性理论解，旋转梯度效应明显提高该梁的振动频率，材料内秉长度越大，这种影响愈明显。

4 结论

基于Mindlin偶应力弹性理论，推导并建立了离心场中计旋转梯度的一般弹性体运动与变形耦合动力学分析方程，以约束变分原理为基础，考虑转角为独立变量，使用罚函数方法引入约束条件，构造了8结点48自由度的满足C0连续性要求的六面体等参元，给出了计旋转梯度影响的一般弹性体运动与变形耦合的有限元方程。对绕中轴线旋转的悬臂梁的动力特性分析表明，离心力体现为降低弹性体的总体刚度，对结构起软化作用，科氏力效应在有限元分析模型中虽然具有阻尼的形式，但是对结构动力特性的贡献则有别于结构阻尼，导致了悬臂梁一阶频率的降低，但提高了二阶频率。旋转梯度是弹性体发生变形时的必然结果，对于宏观上的一般金属材料，描述偶应力与旋转梯度的旋转模量很小，旋转梯度引起的偶应力对弹性体总体力学性能影响可以忽略，但对特征尺寸接近材料内秉长度的微结构，由于旋转场较位移场数值上高出数个量级，旋转梯度效应将总体提高该弹性体的静力刚度，导致固有频率的上升，进而影响离心场中弹性体的动力特性。

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Dynamic analysis of elasitc body with rotation gradient effects in centrifugal field

LIU Zhan－fang，YAN Shi－jun，FENG Xiao－wei

(College of Resource and Environmental Sciences，Chongqing University，Chongqing 400044，China)

The flexible body in a centrifugal field was analyzed dynamically，considering the rotation gradient effects.Based on the couple－stress theory，the kinetic equations were derived.A hexahedron solid isoparametric element was constructed，with the rotating angle as an independent variable，and the finite element model was established using the constrained variation principle.Dynamic characteristics of a cantilever beam revolving around the neutral axis were investigated.The relations between the natural frequencies and rotating speed were exploed，which describe that centrifugal and coriolis forces lead the first natural frequency to decrease，however the coriolis force results in the increase of second natural frequency.The stiffness of the flexible body is increased，as a result of the rotation gradient effects in microstructure field，and the resonant frequency is raised，comparing with the classic elasticity results.

rotation gradient;rigid－flexible coupling;resonant frequency;finite element analysis

O313.7

A

国家自然科学基金(11072276);重庆市科技攻关计划项目(CSTC2008AC3105)

2011－03－17 修改稿收到日期：2011－06－08

刘占芳 男，博士，教授，1963年生

颜世军 男，博士，1983年生