突出过程 注重引导 渗透方法——一节《指数函数及性质》新授课课例及分步点评

李红春，胡顺林

（1.武汉市黄陂区第四中学，湖北 武汉 430331；2.武汉市黄陂区姚集中学，湖北 武汉430322）

2011年10月，由湖北省特级教师卢琼、武汉市学科带头人翁华木带领的武汉市黄陂区名师工作室全体成员一行来到黄陂区各普通高中，深入课堂一线，围绕新课程理念如何有效开展这一主题开展调研活动，其中一位年青教师讲授的人教A版必修1中的《指数函数及其性质》处处彰显新课程的理念，深受好评。

一、实录与点评

师：大家好，今天阳光明媚，看得出大家心情很不错!首先我们一起来思考下列问题：

（多媒体出示问题1）

问题1：

①拿一张纸，观察对折1、2、3、4次后所得的层数，并归纳对折次数x与层数y的关系．

②从2000年开始，未来20年我国的国民生产总值每年能保持年均7.3%的增长率，如果2000年的GDP是1个单位，请写出x年后的国民生产总值y与x的关系。

③“猪流感”是一种病毒，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种，某种球菌分裂时，由1分裂成3个，3个分裂成9个……，写出一个这样的球菌分裂x次后，得到的球菌的个数y与x的函数关系式。

④某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，写出经过x年后剩留量y与x的关系式。

生：可得①y=2x，（x∈N*）；②y=1.073x（x∈N，x≤20）；③y=3x，（x∈N*）；④y=0.84x，（x＞0）；

（点评：一句亲切的话语，能对学生学习产生进行积极的心理暗示。问题的选取贴近生活，充满时代气息，充分体现数学源于生活。问题（1）通过引导学生从具体情况出发，归纳出一般结论，暗示数学研究问题的方法通常是由特殊到一般）

师：大家观察这四个关系，它们构成函数关系吗？

生：是的，因为右边的变量在给定的范围内每取一个值，左边的y都有唯一的值和它对应。

（点评：新课程强调要循序渐进的加强学生对函数概念的理解，因前面学生刚刚学完函数概念不久，部分学生不一定能完全消化，此处设问很好，由此不难看出教师对学情的了解和对教材的挖掘能力）

师：你能从以上四个关系式里找到什么异同点吗？

生：共同点：自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同。

师：哦，很好，象这一类函数我们称之为指数函数，那么，下面我们就来学习它——指数函数。（教师板书课题）

师：数学是一门非常严密的学科，容不得半点模糊，在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函数用形如 y=k/x（k≠0）表示，二次函数用y=ax2+bx+c（a≠0）表示，且对其一般形式上的系数都有相应的限制，那么指数函数该如何定义呢？

生：形如y=ax形式的函数！

师：需要限制条件么？大家可以相互讨论一下。

生：前面我们学的指数式的运算性质对底数都加了 这一限制条件。

生：如果a=1，指数函数变成常数函数y=1，也就没有研究的必要。

生：假如有个函数是y=（-3）x，x取整数都有意义，但取分数如时有意义，取时没有意义，情况很复

杂。

……

师：大家思考得非常好，前面对指数式的运算性质已经由整数拓展到实数，而我们研究的函数其自变量通常在一个连续区间内取值，如果底数是负数，自变量有的值能取，有的不能取，情况将变得很复杂，为了使研究的问题有意义而且方便，我们规定“a＞0且a≠1”！（多媒体出示指数函数的定义，并给出问题2）

问题2：判断下面三个函数是否为指数函数：①y=-4x②y=4x+1③y=x4

生：①、②、③都不是指数函数。

师：回答很好，③的自变量在底数位置，显然不符合指数函数的定义，此处①、②虽不是指数函数，但它们却可以由指数函数经过变换得到，它们与指数函数有着紧密的联系，我们以后也是借助指数函数来研究它们的性质。

（点评：《课程标准》指出，数学要淡化形式，但并不否定形式，教师对形式把握准确，明确研究的对象。更值得一提的是教师并没有在否定①、②两个函数为指数以后就此止步，而是指出他们之间有联系，为后面研究问题作铺垫）

师：学习函数的一个很重要的目标就是应用，但这是基于对函数性质的充分了解为前提，数学上我们常常借助函数的图像来研究函数的性质，所以我们先要画指数函数的图像，大家还记得初中我们是怎么样画函数的图像吗？

生：取点——列表——描点——连线

师：“实践出真知”，下面我们就一起来画，男生画y=2x和 y=（）x的图像，女生画y=3x和y=（）x的图像。

（几分钟后，学生画好了，教师用多媒体展示在同一坐标系中画好的这四个图像）

师：对于函数前面我们学习了与它相关的哪些内容？

生：定义域，值域，单调性，奇偶性等。

师：好，大家还记得我们通常怎么确定函数的定义域吗？结合图形如何判断函数的值域、单调性和奇偶性呢？

生：函数的定义域就是使表达式有意义的自变量的取值范围。而值域则需要观察图像的最高点与最低点的位置，单调性是看函数图像的走势，奇偶性则看图象是否关于原点或y轴对称!

师：很好!下面大家就结合刚才这位同学的回答，指出指数函数y=ax的定义域、值域、奇偶性、单调性，大家可以相互讨论，想好的举手回答哦。

生：对于 y=ax，（a＞0，a≠1），无论 x 什么数，式子都有意义，所以定义域为R。

生：整个函数的图像都在x轴上方，向上无限延伸，向下与x轴无限接近，但却没有交点，故值域为（0，+∞）。

生：函数的图形既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以没有奇偶性。

生：当底数a＞1时，顺着x轴正方向图象逐渐上升，故是增函数；0＜a＜1时，顺着x轴正方向看图象逐渐下降，故是减函数。

师：很好，四个函数的图像单调性不尽相同，图形与坐标轴的相对位置也有差异，但四个图形在坐标系中却过同一点，你们发现了吗？

生：过点（0，1）。

师：你能从理性上给予分析吗？

生：因为无论底数a取何值，a0=1，即x=0时。

师：很好，刚才我们分析的是一个函数的图像特征，你们能观察出y=2x、y=（）x和 y=3x、y=（）x之间的位置关系吗？

生：y=2x与 y=（）x关于 y轴对称，y=3x与 y=（）x也关于y轴对称。

师：能推广到一般情况吗？

生：y=ax与 y=a-x，（a＞0，a≠1）关于 y 轴对称。

师：你们观察能力很强哦，可还只是感性上的认识，能从理性上给予分析吗？

图形是由点组成的，图形的对称不妨从点的对称着手分析。

（点评：解决数学问题首先要抓住问题的突破口，当发觉学生的思维受阻时，教师的引导极为重要）

生：点（1，2）和点（-1，2）分别在 y=2x和 y=（）x上；点（2，4）和点（-2，4）也分别在 y=2x和 y=（）x上，……，哦，若点 P（m，n）在 y=ax上，那么 P（-m，n）必在y=a-x上，这两个点横坐标互为相反数，纵坐标却相同，他们关于y轴对称。图形是点组成的，故图形关于y轴对称。

师：这位同学回答得非常正确，先从特殊情况寻找规律，再回到一般情况思考问题，这是我们处理数学问题常用的方法。下面我们一起把指数函数的性质作一个总结。（多媒体展示指数函数的性质）

（点评：在学习活动中，不但重视“知识与能力”的培养，更注重“过程与方法”的提炼，在某种程度上，学生学会解决问题的方法比静态的知识更重要，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，这正是新课程所倡导的）

师：我们研究函数的性质是为了利用性质解决问题，下面我们来看指数函数的应用。

（多媒体出示问题3）

问题3：比较下列各题中两值的大小：

①1.72.5“、1.73；②0.80.1、0.8-0.2；③1.70.3、0.93.1

生：①根据y=1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，故1.72.5＜1.73，②根据 y=0.8x在 R 上是减函数，而 0.1＞0.2，故0.80.1＜0.80.2，对于问题③学生不是很清楚如何解。

师：试一试看能不能从图形上找到突破口。

生：从草图上容易看出：1.70.3＞1，而 0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1。

师：很好，请大家总结一下常见指数式大小比较的方法。

生：对于同底的指数式可以借助指数函数的单调性解决，而对于不同底的指数式则可尝试寻找中间值过渡。

师：下面这些问题对大家可有点挑战哦，但我相信你们一定有办法！（多媒体出示作业题）

问题4：

①我国古代的思想家庄子曾写过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，你能用今天所学的数学知识解释其中的道理吗？

②已知下列不等式，比较m和n的大小：

a.2m＜2nb.0.2m＞0.2nc.am＞an（a＞0且a≠1）.

③函数 y=ax-3+3（a＞0 且 a≠1）恒过定点 ______.

（点评：作业题1将庄子的思想引入数学试题中彰显了数学的文化性与趣味性，可谓独具匠心，而作业题2和3的设置既重在锻炼学生的逆向思维能力，更重在考察学生学习的可发展性）

师：同学们，快乐的时光总是那么短暂，转眼一节课就要结束了。今天我们从生活中引出了指数函数的概念，并通过亲自画出图形，一起分析出了指数函数的性质，最后还学会利用单调性来比较指数式的大小，在探究问题的过程中，大家初步领悟到处理数学问题中的一种重要思维方法，即先从特殊情况寻找规律，再回到一般情况思考问题。值得一提的是，在学习活动中，大家思考问题积极，回答问题主动，面对困难时不轻言放弃，令我满意！

（点评：课堂小结打破了传统做法中只重视知识回顾，充分体现了新课程对“过程与方法”“情感与态度价值观”的关注，值得借鉴）

二、总评与思考

指数函数是高中研究的第一种具体函数，在初中学生已经初步探讨了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质。这节课从内容上讲，重点是指数函数的图像及性质，要点在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，而函数值变化的不同情况是本节课的难点。作为一所普通的农村中学，学生基础教薄弱，基于这样一个前提，围绕如何激发学生充分的参与课堂教学活动，如何让简单的教学内容学得生动有趣，如何让学生在学习中既学会知识又掌握方法，本节课教师都作了深入的思考。

在教学过程中，教师和学生一起从实际问题出发，提炼出本节课研究的对象指数函数，接着引导学生根据图像分析指数函数的性质，最后应用性质解题。在整个教学过程中，教师通过层层递进的设问，引导学生一起经历了知识的发生和发展过程，充分体现了新课程构建主义的教育理念。本节课还留给了我们如下思考。

（一）课堂教学导在何处值得深思

长久以来，一谈到教学的本质和教学过程中师生的角色定位，我们的老师现在都会这样说：教学是一种特殊的认知活动，在课堂教学中，教师是主导，学生是主体。但问题是我们的教师是否真的读懂了这个“导”字？我们的学生是否真的成为了学习的主体？在本节课中，教师是通过一串问题链把握住课堂的主导权，层层推进课堂教学，却最大限度地把思考的空间留给学生，无论是概念的引入，图像的画出，性质的探究，结论的发现都不是教师越俎代庖的结果，而是学生积极参与思考的结晶，但这一切又离不开教师的引导。教师真正做到了“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。那么教师究竟导在何处呢，本节课至少给我们展示了可从以下几个方面努力：

①课前激发学生求知欲望，引导他们迅速进入学习状态。

②课堂教学中引导学生在新旧知识的衔接点上展开思维。

③问题探究中指导学生不断总结解决问题的方法。

④课后反思中引导学生对知识进行归纳整合。

（二）要辩证看待学生课前预习活动

传统教学特别强调学生的课前预习，甚至认为那是学习必不可少的一个环节。我觉得对于有些浅显易懂的课应该让学生提前预习，给学生一个自主学习的机会；而对于有些概念性强、思想方法丰富、思维能力要求比较高的课则不要求学生进行预习。就这节课而言，事实上对于大多数学生课前的预习就是把课本看一遍，看完后他们似乎掌握了这节课的知识。但是，课堂上他们可能就此失去了钻研问题的热情，探究问题的耐心，失去思考问题时所用到的数学思想方法；更为可惜的是，由于他们没有充分参与解决问题的过程，失去了直面困难、迎难而上的磨炼。

（三）体验是数学学习中必不可少的一个环节

《课程标准》提出：要让学生在参与特定的数学活动，在具体的情景中认识对象的特征，获得体验。我觉得，让学生亲历体验既能让学生在实践中掌握数学学习的一般规律和方法，还能在体验的过程中不断完善自身的学习习惯、提升数学素养、磨炼意志品质和丰富情感态度。在本节课的教学活动中学生的观察能力、分析能力、归纳能力、语言表达能力都得到了锻炼。学生在教师的引导下不断体验学习的快乐，共同分享成功的喜悦，树立了严谨治学的态度。