对一道竞赛题的探讨

瞿永明 黄尚鹏

(监利县朱河中学 湖北 荆州 433325)

题目：(2006年第23届全国中学生物理竞赛复赛第5题)磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力．

为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题.

设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

式中B0，ω，k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行．在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图1所示．图中xOy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直xOy平面指向纸外，规定指向纸外时B取正值．“×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布．一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边NP的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感．

(2)试讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系．

图1

分析：题给的磁场B(x,t)随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻t，磁场的空间分布为

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

在t+Δt时刻，磁场的空间分布为

B(x,t+Δt)=B0cos[ω(t+Δt)-kx]=

平移速度v0为恒量．

由此可见，题给出的磁场

B(x,t)=B0cos(ωt-kx)

可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度v0沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通量将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用.

下面笔者通过两种方法来计算安培力的大小．

方法一：设时刻t穿过金属框的磁通量为Φ(规定由纸内到纸外Φ为正)，经过一很短时间间隔Δt，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v0Δt，金属框向x方向移动了一段距离vΔt，其结果是：金属框MN边左侧扫过面积为(v0-v)lΔt，有B(x,t)(v0-v)lΔt磁通量移进了金属框，PQ边左侧扫过面积为(v0-v)lΔt，有B(x+d,t)(v0-v)lΔt磁通量移出了金属框，故在t+Δt时刻，通过金属框的磁通量为

Φ′=Φ+B(x,t)(v0-v)lΔt-

B(x+d,t)(v0-v)lΔt

在Δt时间间隔内，通过金属框的磁通量增量为

ΔΦ=[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)Δt

规定框内的感应电动势E(t)沿顺时针方向为正，则t时刻的感应电动势

故

E(t)=[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)

规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为i(t)B(x,t)l，由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为-i(t)B(x+d,t)l，故金属框的安培力的合力

F(t)=i(t)B(x,t)l-i(t)B(x+d,t)l

由以上各式得

{cos(ωt-kx)-cos[(ωt-kx)-kd]}2

再利用三角公式得

其中

F0称为安培力F(t)的幅度．从上式可以看出，安培力F(t)在F0的幅度内随时间变化，但其值不会小于零，表示磁场作用于金属框的安培力始终向右．

方法二：在时刻t，金属框沿x轴正方向移动的速度为v，磁场区域以速度v0(v0>v)沿x轴的正方向平移，则金属框相对磁场区域沿x轴负方向移动的速度为v0-v，金属框MN边和PQ边因切割磁感线而产生动生电动势，规定框内的感应电动势E(t)沿顺时针方向为正，则金属框MN边位于坐标x处产生的动生电动势为

E1(t)=B(x,t)l(v0-v)

PQ边位于坐标x+d处产生的动生电动势为

E2(t)=-B(x+d,t)l(v0-v)

故框内的总感应电动势为

E(t)=E1(t)+E2(t)=

[B(x,t)-B(x+d,t)]l(v0-v)

以下解法同方法一．

显然，方法二较方法一更符合学生的认知水平，容易理解，且计算简便，不失为求解本题的最佳方法．

那么安培力的大小与线框几何尺寸的关系是怎样的呢？我们只需讨论安培力F(t)的幅度F0与线框几何尺寸的关系．F0与金属框长度l的平方成正比，与金属框的宽度d有关.

F0=0

当d取其他值时，F0介于零与最大值F0 max之间．

参考文献

1 张大同.高中物理竞赛辅导.西安：陕西师范大学出版社,2000

2 赵凯华,陈熙谋.电磁学.北京：高等教育出版社，2006