对一道运动学问题的深度思考

何 勇

(新疆兵团二中 新疆 乌鲁木齐 830002)

在“乌鲁木齐地区2011年高三年级第一次诊断性测试”中，一道考查学生关于运动学的选择题引起了笔者的思考．

【例1】某兴趣小组作如下实验：将3块外形相同的正方形木板甲、乙、丙，如图1拼接起来放在水平地面上.一可视为质点的小物体以一定的初速度依次滑过3块木板．小物体与3块木板的动摩擦因数之比为μ甲∶μ乙∶μ丙=1∶2∶3；如果小物体每次初速度相同，3块木板的顺序可任意拼接.若要小物体滑过3块木板所用的时间最短，小物体依次滑过三块木板的顺序为

A.甲、乙、丙 B.丙、乙、甲

C.乙、甲、丙 D.乙、丙、甲

图1

首先，本道题应该保证“木板在地面上静止不动”，这一点题目表述含糊不清．3块木块拼接起来，成为一个长是宽的3倍的矩形.小物体运动的轨迹平行于矩形的长边.

接下来，对甲、乙、丙如果在地面上不滑动，进行以下分析．

设每块木板的宽度均为L，小物体滑上木板的初速度为v0，离开时速度为vt，小物体在木板上滑动根据动能定理可得

-μ甲mgL-μ乙mgL-μ丙mgL=

根据上式可知：小物块以相同初速度v0从一端滑上木板，离开时末速度vt也一定相等．

1 对两个木板运动的分析：令μ甲<μ乙

(1)图像法

由于滑块在每块木板上都做匀减速运动，在保证相同的初速度下，且每块木板上滑行的位移相同，则末速度必然相同，可画出图2(a)、(b)对应的v-t图，如图2(c).

根据v-t图可知，按图2(a)运动的时间ta较图2(b)运动的时间tb要短．

图2

(2)平均速度法

设物体滑到中点的速度为v，则其从左端滑到右端，有

t=t1+t2

根据以上两式可知：要想使物体在物块上运动的时间最短，必须保证小物体运动到中间的速度较大；故图2(a)较图2(b)方式的时间要短．

通过以上两种方法都可以确定先滑过光滑面，后滑过粗糙面的时间较短．同时可以推广到3块木板很容易分析得出结论：依次滑过甲、乙、丙的时间最短，选项A正确．

2 推广到在多块木块的减速运动

在分析之前不妨先来看一个相关问题.

【例2】如图3，一个木块滑上一个粗糙程度不均匀的固定水平木板，如果木板从A端至B端与滑块的动摩擦因数连续增大．试判断滑块从哪一端滑上木板的时间较短？

图3

解析：设物体的初速度为v0，末速度为vt，摩擦力做功为Wf.

根据动能定理可得

经分析木块从甲端滑至B端和木块从B端滑至甲端，摩擦力做功相同，由上式可以得出，木块的末速度vt也相同，其运动的v-t图如图4所示．显而易见，tAB

图4

如果滑块与木板间各处的动摩擦因数不同，而木板可以无限分割并且可以任意拼接，当木板按照动摩擦因数从小到大的顺序排列时，滑块在木板上运动时间是最短时间吗？

构造模型：如图5所示，一个可视作质点的质量为m1的物块，滑上一个粗糙程度不同的木板．

图5

问题分析：假设将AB之间粗糙水平面分成n段，其速度分别记作v1，v2，…，vj，vj+1，…，vn，vn+1，在可以看成相等很小位移Δl的动摩擦因数分别记作μ1，μ2，…，μj，μj+1，…，μn-1，μn，设{μn}为任意排列．

现将其中任意一段当做匀减速直线运动来处理，可以列出方程组

将以上各方程组累加可得

对于其中任意一段Δl的运动时间

所以，滑块从A端滑到B端的总时间

μ1<μ2<…<μn-1<μn

μ1>μ2>…>μn-1>μn

探究结论：一个物体从光滑端向粗糙端滑行的时间最短，从粗糙端向光滑端滑行的时间最长．

现在，再来看物块滑过3个木板按甲、乙、丙拼接，小物体滑过3块木板所用的时间最短；物块滑过3个木板按丙、乙、甲拼接，小物体滑过3块木板所用的时间最长就显而易见了．