非扩张映像显式迭代序列强收敛性

张学茂

(泰州师范高等专科学校,江苏 泰州 225300)

研究非扩张映像一个经典方法是利用一系列压缩映像来直接逼近或迭代逼近非扩张映射的不动点[1].近年来，非扩张映像与渐近扩张非映像在Hilbert空间及Banach空间中的强收敛性，引起了不少专家学者的关注，得到了许多强收敛的条件和证明方法[2-6].受他们的启发，本文主要利用半闭原理及不动点理论,在具有一致正规结构和一致Gateaux可微范数的Banach空间中给出了关于非扩张映像显式迭代序列的强收敛性，弱化了非扩张映像显式迭代序列收敛性的条件，改进和完善了许多学者的证明方法.

1 预备知识

定义1[1]E是一实的Banach空间,C是E中一非空子集映像，f:‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖,∀x,y∈C,α∈(0,1)则称f:C→C为一压缩映像.

定义2[7]∀x,y∈C都有‖T(t)x-T(t)y‖≤α‖x-y‖,α∈(0,1)称T:C→C是非扩张映像.

引理1[8]设E是一实的Banach空间，E*是E的对偶空间,J:E→2E*是由下式定义的正规对偶映像：J(x)={f∈E*:=‖x‖.‖f‖,‖x‖=‖f‖,x∈E},则对任意x,y有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2J(x+y)>,∀j(x+y)∈J(x+y).

引理2[8]设E是一致光滑的Banach空间，C是E的非空闭凸子集，T:C→C是一非扩张映像，且F(T)≠φ,f∈∏C,若定义Q：∏C→F(T),Q(f)=limt-0xt则Q(f)是下列变分式不等式的解

<(I-f)Q(f),J(Q(f)-p)>≤0,
f∈∏C,p∈F(T)．

引理3[8]设E是一致光滑的Banach空间，C是E非空有界集，F={T(t):f>0}为压缩映像∀h≥0总有

引理4[9]设E是一致凸的Banach空间，C是E一闭凸子集，T:C→C为有不动点的一非扩张映像.若xn→x∈C且(xn-Txn)→y,则(xn-Txn)=y，特别若y=0,则x是T的一个不动点.

引理5[10]设E是一致光滑的Banach空间,T:C→C是有不动点的一非扩张映像.对于任意给定的U∈C,及t∈(0,1),当t→0时压缩映像Tt:tu+(1-t)T有唯一不动点，则xt∈C强收敛于T的一个不动点.

引理6[10]设E是一致凸的Banach空间，C是E一闭凸子集，T:C→C是有不动点集：F:∩≥0F(T(t))≠φ为非扩张映像，f∈∏k,设{an}⊂(0,1),β∈[0,1]及{tn}∈R+满足:

则x0∈k,xn+1=αnf(xn)+(1-αn)T(xn),n=1,2,…强收敛于一不动点T.

引理7[10]设E是一致凸的Banach空间，C是E一闭凸子集，T和S是两个非扩张映像，F(S)∩F(T)≠Ø，则F(ST)=F(TS)=F(S)∩F(T).

2 主要结论

xn+1=αnf(xn)+(1-αn)T(tn)xn

,

则该序列{xn}强收敛于F中一不动点P.

证明 第一步证明变分不等式≤0有唯一解，且对于任意两个非扩张映像T和S，总有TP=Sp=p.

`首先假设p,q⊂F都是变分不等式的解,则

.

两式相减得=

‖p-q‖2-<(f(p)-f(q))(p-q)>≤0,

即‖p-q‖2≤<(f(p)-f(q),j(p-q)>≤α‖p-q‖2,又α∈(0,1)，则p=q.

据引理7，再令S=(1-α)I+αU，α∈(0,1)，U为非扩张映像.如果Sz≠z则有

‖Sz-q‖2=
‖(1-α)(z-q)+α(Uz-q)‖2=
(1-α)‖z-q‖2+α‖Uz-q‖2-
α(1-α)‖z-Uz‖2≤
(1-α)‖z-q‖2+α‖z-q‖2<‖z-q‖2.

因Tp≠p由定义2有‖p-q‖=‖S(TP)-q‖=‖S(TP)-Sq‖≤‖TP-q‖<‖p-q‖,因此

TP=P,Sp=p,

第二步证{xn}有界,由定义1，引理1和定理中的条件，对于任意序列{xn}∈F,

‖xn+1-xn‖2=<αn(f(xn)-xn)+
(1-αn)(T(tn)xn-xn),j(xn+1-xn)>=
αn<(f(xn)-xn),j(xn+1-xn)>+
(1-αn)<(T(tn)xn-xn,j(xn+1-xn)>=
αn<(f(xn)-xn),j(xn+1-xn)>+
(1-αn)<(T(tn)xn-T(tn)xn,j(xn+1-xn)>≤
αn‖f(xn)-xn‖‖xn+1-xn‖+(1-αn)
(‖T(tn)xn-T(tn)xn‖‖f(xn+1)-f(xn)‖)≤
αnβ‖xn+1-xn‖2.

即(1-αnβ)‖xn+1-xn‖2≤0，从而‖xn+1-xn‖→0,所以{xn}一致收敛，则{xn}有界.

由以上证明可知{T(tn)xn}与{f(xn)}有界，由定义1有

‖T(tn)xn+1-T(tn)xn‖≤‖xn+1-xn‖;
‖f(xn+1)-f(xn)‖≤β‖xn+1-x‖.

∀h>0总有

‖xn-T(h)xn‖≤‖xn-T(tn)xn‖+
‖T(tn)xn-T(h)(T(tn)xn‖+
‖T(h)(T(tn)xn-T(h)xn‖≤
2‖xn-T(tn)xn‖+
‖T(h)(T(tn)xn-T(h)xn‖→0,

由引理3可得

第四步证明{xn}强收敛于变分不等式

≤0

的唯一解p∈F(t).由引理1、引理6和迭代序列可得

对上式化简得

J(xn+1-p)>≤0，p∈F(T),

则‖xn+1-p‖2→p.

由引理4、5可得{xn}强收敛于不动点变分不等式的唯一解p.

参考文献：

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