关于不定方程x2+4n=y5

2011-12-28 03:39崔保军
关键词:数论奇数整数

崔保军

(甘肃民族师范学院数学系,甘肃合作 747000)

关于不定方程x2+4n=y5

崔保军

(甘肃民族师范学院数学系,甘肃合作 747000)

用代数数的方法证明了不定方程 x2+4n=y5仅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m).

不定方程;整数解;整环

设A,B∈N,A无平方因子,关于不定方程:

的解的讨论是数论中的一类重要课题.当 A=1,B=1时,Lebesgue[1]证明了(1)无整数解.Nagell[2]证明了当A=2,B=1,n=5时,方程(1)仅有整数解(x,y)=( ±11,3).文献[3]给出了 x2+4n=y3在 2|n 时的整数解.本文利用代数数论的方法证明了不定方程 x2+4n=y5仅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(n,x,y)=(5m+2,±25m+2,2·4m).为此,先引入引理

引理1 不定方程2m-1=5z2仅有解m=0,z=0;不定方程2m+1=5z2仅有解m=2,z=1.

证明:对于不定方程2m-1=5z2,若m≥2,两边取mod 4,得-1≡1(mod 4),可知此时方程无解;m=1时也无解.故该方程仅有解m=0,z=0.

同理可证不定方程2m+1=5z2仅有解m=2,z=1.

引理2[4]设 M 是唯一分解整环,正整数 k≥2,以及 α,β∈M,(α,β)=1,那么若 αβ = γk,γ∈M,则有 α=ε1μk,β =ε2νk,μ,ν∈M,其中 ε1,ε2是 M 中的单位元素,并且 ε1ε2=εk,ε 为单位元素.

定理1 不定方程:

仅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N).

证明 首先考虑x≡1(mod 2)的情况.在Z[i]中式(2)可以写为(x+2ni)(x-2ni)=y5,x,y∈N.设 δ=(x+2ni,x -2ni),由 δ|(2x,2·2ni)=2,知 δ只可能是1,1+i,2.因 x≡1(mod 2)知 x+2ni≡1(mod 2),所以δ≠2:如果 δ≠1+i,则 N(1+i)|N(x+2ni),即2|x2+4n,但 x≡1(mod 2),产生矛盾.因此 δ=1,由此及引理2知:

因而有:

由式(4)有 b= ±1,±2t,±2n,其中 t∈N,1≤t≤n -1.以下就 b的取值情况分别讨论方程(2)得解.

若 b= ±1,则 ±2n=5a4-10a2+1,即5(a2-1)2=4±2n.因2|4 ±2n,此时有 a=0 或 a≡1(mod 2),由式(4)推得x≡0(mod 2),这与x≡1(mod 2)矛盾.

若 b= ±2t,则有 ±2n-t=5a4-10a24t+42t,即4·42t±2n-t=5(a2-4t)2,此时必有 a≡0(mod 2),得到 x≡0(mod 2),这也与x≡1(mod 2)矛盾.

若b= ±2n,则有±1=5a4-10a24n+42n,即4·42n±1=5(a2-4n)2,由引理1可知此时方程也无解.

再考虑x≡0(mod 2)的情况,此时y也是偶数.由对x≡1(mod 2)的情况的讨论知,只需考虑(x,4n)=2n.

1)若 n=5m,令 x=25mx1,y=4my1,则方程(2)变为 x21+1=y51.由对 x≡1(mod 2),n=0 的讨论知必有 x1=0.推知此时方程(2)仅有解 x=0,n=5m,y=4m.

2)若 n=5m+1,令 x=25m+1x1,y=2·4my1,则方程(2)变为 x21+1=8y52,由于 x1为奇数,取 mod 8,知此时方程(2)无解.

3)若 n=5m+2,令 x=25m+2x1,y=2·4my1,则方程(2)变为:

根据文献[4]上面的结果可写成 x1+i=(1+i)(a+bi)5,x1,a,b∈Z.

即1=a5+5a4b-10a3b2-10a2b3+5ab4+b5=(a+b)[(a+b)4-20a2b2].

有第一式知 a+b= ±1,(a+b)4-20a2b2= ±1,因而必有 ab=0,由此解出 a=0,b=1;a=1,b=0,在由第二式知x1= ±1,进而得到方程(2)的解为n=5m+2,x= ±25m+2,y=2·4m.

4)若 n=5m+3,令 x=25m+3x1,y=4m+1y1,则方程(2)变为 x21+1=16y51.由于 x1为奇数,取 mod 8,知此时该式无解,进而有方程(2)无解.

5)若 n=5m+4,令 x=25m+4x1,y=4m+1y1,则方程(2)变为 x21+1=4y51,由于 x1为奇数,取 mod 4,知这种情况下方程(2)无解.

综合以上讨论知,不定方程(2)仅有解(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N).

定理得证.

由本文的定理1可知文献[5]和文献[6]的结果只是本文在n=3和n=1的特殊情况.

[1] Lebesgue V A.Sur limpossibilite en nobers entiers de equation xm=y2+1[J].Nouv Amn Math,1850,9(1):178 -181.

[2] Nagell T.Sur limpossibilite de quelques equations deux indeterminees[J].Norsk Marem Forenings Skrefter Senel,1921,13:65 -82.

[3] 王振,张慧.关于Diophantine方程x2+4n=y3[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2010,27(3):220-222.

[4] 潘承洞,潘承彪.代数数论[M].济南:山东大学出版社,2003:111-113.

[5] 高媛媛,郭金保.关于不定方程x2+64=y5[J].延安大学学报:自然科学版,2010,29(1):6-7.

[6] 高媛媛,郭金保.关于不定方程 x2+4=y5[J].江西科学,2010,28(1):7 -8.

On the Indefinite Equation x2+4n=y5

CUI Bao-jun
(Department of Mathematics,Gansu Normal University for Nationalities,Hezuo 747000,China)

In this paper,the author has proved that the indefinite equation x2+4n=y5has only integer solution(n,x,y)=(5m,0,4m),(5m+2,±25m+2,2·4m)(m∈N) .

integer solution;indefinite equation;integer ring

O156

A

1008-8423(2011)01-0049-02

2010-12-24.

崔保军(1980-),男,硕士,讲师,主要从事数论的研究.

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