可限制李三系

董艳芹，佟守愚，华宏图

（1.空军航空大学基础部，吉林长春 130022；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春 130024）

可限制李三系

董艳芹1，2，佟守愚1，华宏图1

（1.空军航空大学基础部，吉林长春 130022；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春 130024）

给出了可限制李三系的定义，讨论了限制李三系和可限制李三系的等价关系，并通过可限制李三系，讨论了限制李三系的存在性问题.

李三系；限制李三系；可限制李三系

1 预备知识

李三系源于微分几何中黎曼对称空间、全测地流形、Jordan代数和李代数的研究.限制李三系（特征p域上的李三系）作为一个新兴的研究领域，它的发展还处在起步阶段.2001年，T.L.Hodge给出限制李三系的定义，并讨论了限制李三系和它的包络代数之间的关系［1］.2002年，T.L.Hodge又讨论了限制李三系的表示论［2］.本文主要运用李三系和模李代数的知识和手法来研究可限制李三系［3－7］.在本文中，除了另外表明，k都是特征p域，其中p是大于2的素数.

定义1.1若T是一个关于三元积封闭的向量空间，并且对任意a，b，c，d，e∈T，满足下面等式：

则称T为李三系.

定义1.2T是一个李三系，任意x，y，z∈T，我们定义L（x，y）∈EndT，使得L（x，y）z＝［x，y，z］，并且L（T，T）表示由｛L（x，y）｜x，y∈T｝线性张成的空间.定义T的标准嵌入李代数Ls（T）＝L（T，T）⊕T，它的运算为

定义1.3李三系T的中心Z（T）定义为Z（T）＝｛x∈T｜［x，a，b］＝0，∀a，b∈T｝.

定义1.4若李三系T满足［x，y，z］＝0，∀x，y，z∈T，则称T为交换李三系.

定义1.5李三系T到的一个线性映射Φ：T→，若满足

则称Φ为李三系T到的同态.

定义1.6李三系T的子空间φ，如果满足［φ，φ，φ］⊆φ，则称φ为李三系T的子系.

定义1.7李三系T的子空间φ，如果满足［φ，T，T］⊆φ，则称φ为李三系T的理想，表示为φ◁T.定义1.8设φ是李三系T的理想，定义φ0∶＝φ.当n≥0，定义φn＋1∶＝［φn，T，φ］＋［φ，T，φn］.

定义1.9［2］设T是任意一个李三系，T的标准嵌入李代数是Ls（T）＝L（T，T）⊕T，对于任意N≥3的正奇数，任意x1，x2，…，x N∈T，我们定义：

定义1.10［2］设T是域k上的一个李三系.如果存在一个映射［p］：T→T，并且对任意a，b，c∈T，α∈k，满足下面等式：

其中isi（a，b）是λi－1在（ad（λa＋b））p－1（a）中的系数（由文献［1］的命题3.9知si（a，b）∈T），则称T为限制李三系.

引理1.1［2］T是k上的李三系，如果存在T的基｛ui｝i∈I，使得对每个i∈I与任意a，c∈T，都存在vi∈T，满足

那么T上存在唯一的限制结构a｜→a［p］，∀a∈T，满足u［p］i＝vi，∀i∈I.

2 可限制李三系

定义2.1T是k上的李三系，若任意a，b，x∈T，都存在一个y∈T，使得

成立，则称T是可限制李三系.

下面是可限制李三系的两个例子.

例1每个域k上的交换李三系是可限制李三系.

例2T是k上李三系，若Ls（t）是可限制李代数，那么T是可限制李三系.

事实上，因为Ls（T）是可限制李代数，任意x∈T，都存在y∈Ls（T），使得（adx）p＝ady.若y∈L（T，T），上面等式两边同时作用T中元素a，有

这就导致矛盾，因此y∈T，并且有

两边再同时作用T中元素b，则有

即

因此T是可限制李三系.

定理2.1T是可限制李三系当且仅当T是限制李三系.

证明充分性.若T是可限制李三系，那么根据定义2.1，对任意x∈T，都存在y∈T，使得

成立.特别的，对T中的一组基｛ui｝i∈I，一定存在vi∈T，满足

因此根据引理1.1，T是限制李三系.

必要性.若T是限制李三系，根据定义1.10中的等式（3），对任意x∈T，都存在x［p］∈T，使得下式成立：

因此根据定义2.1，T是可限制李三系.

注意在很多时候用可限制李三系比限制李三系更为方便.

定理2.2设f是李三系T1到李三系T2的满同态.若T1是可限制李三系，则T2也是可限制李三系.

证明由于f是T1到T2的满同态，对任意a2，x2，b2∈T2，都存在a1，x1，b1∈T1，使得a2＝f（a1），x2＝f（x1），b2＝f（b1）.因而

又由于T1是可限制李三系，所以对任意x1∈T1，都存在y1∈T1，使得

成立.因此，我们有

即T2是可限制李三系.

引理2.1T1，T2是李三系，在T＝T1⊕T2这个向量空间上，我们定义：

那么T＝T1⊕T2是一个李三系，并且T1，T2是T＝T1⊕T2的理想.

根据李三系的定义容易验证此结论.

定义2.2T是k上的李三系，I是T的理想，若任意x∈I，都存在y∈I，使得（a，x，…，x，b）＝［a，y，b］（p个x），∀a，b∈I成立，则称I为可限制理想.

定理2.3T1，T2是k上李三系T的理想，并且满足T＝T1⊕T2，那么T是可限制的李三系当且仅当T1，T2是可限制的理想.

证明充分性.因为T1，T2是T的理想，那么一定存在两个满同态

由定理2.2，T／T1，T／T2是可限制李三系，又由于T＝T1⊕T2，可知

因此T1，T2都是可限制的理想.

必要性.由于T1，T2是可限制的理想，所以对任意x1∈T1，x2∈T2，都存在y1∈T1，y2∈T2，满足

因此T是可限制的李三系.

定理2.4T1，T2是李三系T的可限制理想，且有

那么T是可限制李三系.

证明类似定理2.3，略.

推论2.1若T＝T n⊕Z（T）且I⊂Z（T）是T的理想，则T是可限制的李三系⇔T／I是可限制的李三系.

证明充分性.根据定理2.2，结论显然成立.

必要性.若T／I是可限制的李三系，则对任意x∈T n，∃y∈Tn，满足从而Tn是T的可限制的理想.而Z（T）是交换的，因而Z（T）是T的可限制的理想.又由于［Tn，Z（T），Z（T）］＝0，［Tn，Z（T），T n］＝0，因此根据定理2.4，T是可限制李三系.

定理2.5T是限制李三系（G，［p］）的有限维子系，若λ：G×G→F是对称双线性的结合型，且λ在T×T上非退化，则T是可限制的李三系.

证明由黎兹表示定理知，对任意z∈T，都存在y∈T，使得f（z）＝λ（y，z）.对任意x∈T，z∈T，都存在y∈T，使得λ（x［p］，z）＝λ（y，z），即λ（x［p］－y，z）＝0.又由于λ在T×T上非退化，因而x［p］－y＝0.因此有

即T是可限制李三系.

［1］HODGE T L.Lie triple systems，restricted Lie triple systems and algebraic groups［J］.Journal of Algebra，2001，244：533－588.

［2］HODGE T L.On the representation theory of Lie triple systems［J］.Trans Amer Math Soc，2002，354：4359－4391.

［3］STRADE H，FARNSTEINER R.Modular Lie algebras and their representations［M］.New York：Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics，1988：80－100.

［4］董艳芹，张永正，孟凡洪.一类广义模李超代数W－型模李超代数的导子［J］.东北师大学报：自然科学版，2009，41（2）：1－6.

［5］夏利猛，沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代数［J］.东北师大学报：自然科学版，2009，41（4）：9－12.

［6］马丽丽，张永正.M－阶化广义李超代数H（n）的导子超代数［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（4）：6－11.

［7］温启军，钱玲，陈良云.Jordan李代数的分解与Frattini理论［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（4）：12－16.

Restrictable Lie triple systems

DONG Yan－qin1，2，TONG Shou－yu1，HUA Hong－tu1

（1.Department of Aviation，University of Air Force，Changchun 130022，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In the paper，restrictable Lie triple systems are defined.Second，the equivalence relation between restricted Lie triple systems and restrictable Lie triple systems is elaborated.Finally，it discusses the existence of restricted Lie triple systems by restrictable Lie triple systems.

Lie triple systems；restricted Lie triple systems；restrictable Lie triple systems

O 152.5

110·21

A

1000－1832（2011）03－0001－04

2010－05－04

国家自然科学基金资助项目（10871057，10701019）.

董艳芹（1976—），女，讲师，博士研究生，主要从事李代数研究.

陶 理）