基于T－S模糊模型的新型非线性系统控制器设计

李丽芳，董秀娟，王 红，张 友

基于T－S模糊模型的新型非线性系统控制器设计

李丽芳1，董秀娟2，王 红3，张 友4

（1.吉林警察学院信息工程系，吉林长春 130117；2.东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳 110006；3.齐齐哈尔大学数学系，黑龙江齐齐哈尔 161006；4.东北师范大学计算机科学与信息学院，吉林长春 130117）

针对非线性系统的镇定控制问题，设计了一种新型的基于T－S模糊模型的非－并联分布补偿（PDC）控制器.在控制器设计的过程中，采用了一种新颖的模糊李亚普诺夫函数和一种松弛变量技术.这些措施的应用可以为控制器的设计引入更多的自由度，因而可以获得比以往结果保守性更小的镇定条件.由于控制条件是以线性矩阵不等式形式给出的，因此可以很方便地利用Matlab工具箱来进行求解.最后用一个仿真算例验证了所提方法的有效性.

非－PDC控制律；T－S模糊模型；松弛变量技术；线性矩阵不等式

0 引言

现实世界中的绝大多数控制系统具有非线性特征，因而针对各种非线性系统所进行的稳定性分析和镇定控制的研究具有非常大的研究意义和应用价值.自从上世纪80年代中期以来，T－S模糊模型［1］已经成为研究非线性系统的稳定性分析和控制设计问题的一种有力工具.由于T－S模糊模型被证明能够以任意精度逼近定义在紧集上的一个连续非线性函数［2］，因此从理论层面上保证了应用T－S模糊模型进行非线性系统问题研究的合理性.在基于T－S模糊模型的非线性系统镇定控制研究中，文献［3］提出了一种被称为并联分布补偿（PDC）技术的模糊状态反馈控制器设计方法，由此掀起了该研究方向的研究热潮［4－8］.通常情况下，应用这种PDC技术所得到的镇定控制条件的保守性都非常大，这也大大限制了T－S模糊模型在该领域的应用.正是由于这个原因，文献［4－8］在如何减少基于PDC技术的模糊控制系统镇定控制条件保守性方面做了大量行之有效的研究工作.其中，文献［4］首次通过引入附加变量技术把各个子系统之间的相互关系集中到一个增广矩阵，得到了保守性较小的镇定条件；文献［7］应用Polya's定理得到了该问题的一种渐近充要条件，但是，该方法本身固有的缺点使得这种渐近充要条件在本质上仍然具有很大的保守性：其所采用的是普通的二次型李亚普诺夫函数，所得到的结果属于常规的二次型镇定控制条件.另一方面，模糊隶属函数是T－S模糊系统的重要组成部分，在系统的镇定控制设计过程中，如何将隶属函数的信息考虑进去成为减少结果保守性的一条有效途径［9－11］.文献［12］在利用模糊李亚普诺夫的基础上，设计了一种非－PDC状态反馈控制律，在设计过程中考虑模糊隶属函数时间导数界这一有效信息，大大减少了已有结果的保守性.

本文设计了一种新型的非－PDC模糊系统状态反馈控制器.特别是已有文献中的非－PDC控制律可以被看做本文提出非－PDC控制律的一种特例.为了进一步减少结果的保守性，同时提出了一种新型的模糊李亚普诺夫函数和一种松弛变量技术.这些措施的实施使得在控制系统设计时能够更有效的考虑隶属函数的有用信息，得到比已有文献保守性更小的镇定控制条件.

1 预备知识

1.1 连续时间T－S模糊系统

首先考虑由如下模糊规则所描述的连续时间T－S模糊系统［1］：

其中：x（t）∈Rn表示系统状态变量；u（t）∈Rm为系统控制输入信号；A i∈Rn×n，B i∈Rn×m；ξ1（t），…，ξp（t）为模糊系统前件变量；r表示模糊规则数，Mij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，r）为模糊集.

该模糊控制系统的总体模型可以表示成：

在已有的模糊控制设计的文献中，研究者们通过在设计中考虑模糊隶属函数随时间的导数信息来减少控制条件的保守性.通常给出如下假设条件：

假设1对于连续时间T－S模糊控制系统（1），设定其模糊隶属函数的导数变换界满足如下条件［12］：

这里λi为模糊建模时具体确定的实数.

文献［12］给出了假设条件（4）在实际应用中的合理性与通用性，并且给出具体问题时λi的获得方法.

1.2 放松性T－S模糊控制系统镇定条件

文献［12］给出了基于非－PDC控制律（3）的放松性T－S模糊控制系统镇定控制条件，该条件具有比其先前文献更小的保守性.

那么连续时间T－S模糊系统（1）在非－PDC控制律（3）控制下是渐近稳定的.

注释1文献［12］在系统设计中考虑了模糊隶属函数信息（4），其所得镇定控制的保守性比其先前文献的要小；另一方面，非－PDC控制律（3）和模糊李亚普诺夫函数的使用也为保守性的减少做了很大贡献.这也启迪我们：如果从控制器的结构、模糊李亚普诺夫函数的选取、松弛变量的引入等方面进行进一步的优化设计，那么就有可能获得保守性更小的T－S模糊系统镇定控制条件.

2 主要结果

值得指出的是，已有文献所得到的模糊控制系统镇定控制条件的保守性还比较大，这也大大地限制了模糊控制的应用范围.为了进一步减少控制条件的保守性，我们通过设计一种新型的非－PDC控制律和一个新颖的模糊李亚普诺夫函数，并且提出一种新的松弛变量技术，在系统设计中更加有效的考虑隶属函数的有用信息，可以很大程度地减少了所得结果的保守性，进而扩大T－S模型的应用范围.

设计如下形式的一种新型非－PDC控制律：

其中矩阵F ij和P ij表示待求的控制增益矩阵.把控制律代入T－S模糊控制系统（2），可以得到T－S模糊控制系统的闭环表示形式：

于是，若（12）式成立，那么Σ＜0亦成立，也就是说闭环系统（6）是渐近稳定的.于是定理得证.

注释2定理1通过设计新型的非－PDC模糊状态反馈控制律（5）、模糊李亚普诺夫函数（13）和一种松弛变量技术的措施（引入了X和Y ijk等自由矩阵变量）得到了新的T－S模型系统镇定控制条件（7）—（12）.通过这些措施可以进一步减少结果的保守性.这一结论也会在下一节的仿真研究中得到验证.

3 仿真例子

考虑由如下形式的连续时间T－S模糊系统：

设置可调参数a，b以用来比较定理1与引理1［12］之间的保守性大小关系.

图1 引理1的可行域

不失一般性，我们可以在同一假设条件（4）的情形下分别用定理1和引理1来求解可变参数a，b的可行范围.用图1和图2分别给出它们所对应的镇定控制可行域（星号表示可行点，其中假设条件（4）的λi选取为λi＝1.0×10－2）.从图1和图2的对比中很容易看出定理1的可行域大于引理1的可行域，也就是说，本文所提出的镇定控制条件具有更小的保守性.

然后，选择a＝2，b＝8.0，该点在图1中是不可行点，但在图2中是可行的，也就是说只有应用定理1才能使得该系统渐近稳定.求解线性矩阵不等式（7）—（12），可以获取新型非－PDC模糊控制律（5）的系统控制增益矩阵.

图2 定理1的可行域

图3 闭环系统状态轨迹图

给定系统初始值为x（0）＝［1.2，－0.6］T，图3给出了在所求得的控制器作用下系统的状态轨迹图象.可以看出在新型非－PDC控制器作用下闭环系统是渐近稳定的.

4 结语

本文给出了一种基于连续时间T－S模糊模型的非线性系统非二次镇定控制设计的方法.通过提出新型的非－PDC控制律、新颖的模糊李亚普诺夫函数和松弛变量技术，大大减少了所得结果的保守性.从仿真结果可以看出本文所提的方法是有效的.

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［12］TANAKA K，OHTAKE H，WANG H O.A descriptor system approach to fuzzy control system design via fuzzy Lyapunov functions［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15（3）：333－341.

Novel control synthesis of nonlinear systems based on the T－S fuzzy model

LI Li－fang1，DONG Xiu－juan2，WANG Hong3，ZHANG You4

（1.Department of Information Engineering，Jilin Police College，Changchun 130117，China；2.School of Information and Engineering，Northeast University，Shenyang 110006，China；3.Department of Mathematics，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；4.College of Computer Science and Information Technology，Northeast Normal University，Changchun 130117，China）

A new kind of non－PDC control scheme has been proposed for dealing with the problem of stabilizing nonlinear systems based on the Takagi－Sugeno fuzzy model.Both a novel fuzzy Lyapunov function and a slack variable technique have been applied in the process of control synthesis.Because more freedom could be introduced in virtue of the above measures，the obtained stabilization condition is less conservative than before.Indeed，all the results proposed in this paper are in terms of linear matrix inequality which is easy to be solved by using the Matlab tools.Finally，a numerical example is also provided to illustrate the effectiveness of the proposed approaches.

Non－PDC control scheme；T－S fuzzy model；slack variable technique；linear matrix inequality

TP 273

120·3040

A

1000－1832（2011）03－0054－06

2011－03－16

国家自然科学基金资助项目（10971021）.

李丽芳（1970—），女，副教授，主要从事控制论与数学教法研究；通讯作者：张友（1971—），男，博士，副教授，主要从事控制论与模式识别研究.

陶 理）