幂等可换化子环

屈寅春，魏俊潮，李立斌

（1.无锡职业技术学院，江苏无锡 214073；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002）

幂等可换化子环

屈寅春1，2，魏俊潮2＊，李立斌2

（1.无锡职业技术学院，江苏无锡 214073；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002）

借助幂等元，介绍了环R的幂等可换化子环ZE（R）.利用ZE（R）的性质，讨论了一个环成为Abelian环的条件.并证明了如下结果：设a∈ZE（R），若a在R中是von Neumann正则元，则a在ZE（R）中也是von Neumann正则元，从而得到VNL－环的幂等可换化子环ZE（R）也是VNL－环.

幂等元；幂等可换化子环；von Neumann正则元；VNL－环

0 引 言

该文中，R表示有单位元的结合环，E（R）表示R的全体幂等元的集合.环R的一个元a称为von Neumann（强）正则元［1］，若存在b∈R，使a＝aba（a∈a2R∩Ra2）.一个环R称为von Neumann（强）正则环［1］，若R的每个元都是von Neumann（强）正则元；一个环R称为n－正则环［2］，若R的每个幂零元都是von Neumann正则元.一个环R称为VNL－环［3］，若对每个a∈R，a与1－a中至少有一个为von Neumann正则元.可见，von Neumann正则环为VNL－环和n－正则环.一个环R称为约化环［4］，若R没有非零的幂零元素.一个环R称为Abelian环［5］，若R的每个幂等元都是中心元，由文献［2］可知，一个环R为约化环当且仅当R为n－正则环和Abelian环.

根据文献［6］，一个环R称为exchange环，如果对每个x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R；一个环R称为clean环，如果R的每个元素都是一个幂等元和一个可逆元的和.文献［6］指出clean环是exchange环，但反过来是否成立还是一个未解决的公开问题.宇化平在文献［7］中指出Abelian的exchange环是clean环，且在文献［8］中，他又证明了左quasi－duo的exchange环是clean环.一个环R称为quasi－normal环［9－10］，若对于每个e∈E（R），总有eR（1－e）Re＝0.易见，Abelian环是quasi－normal环.文献［9］中证明：quasi－normal的exchange环为clean环，从而推广了宇化平［7］的结果.

一个环R称为Weakly－normal环［11］，若对每个a∈R，e∈E（R），若ae＝0，则对每个r∈R，Rera是指零左理想.［11，定理3.5］指出：Weakly－normal的exchange环为clean环，从而推广了文献［9］的结果.

设R为一个环，e∈R，称e为反幂等元［12］，若e2＝－e.可见：e为反幂等元当且仅当－e为幂等元.环R的一个元e称为potent元［13］，若存在正整数n≥2，使en＝e.称最小的这样的正整数为元素e的potent指数，记为p（e）.即p（e）≥2且是使ep（e）＝e的最小正整数.易见：当e为R的potent元时，ep（e）－1是R的幂等元.文中用OE（R），PE（R）分别表示环R的全体反幂等元的集合及全体potent元的集合.则易见E（R）⊆PE（R）.

1 主要结果

定理1 设R为一个环，则ZE（R）为R的子环.

证明 由于0，1∈ZE（R），故ZE（R）≠φ.对任意a，b∈ZE（R），有ae＝ea，be＝eb，∀e∈E（R）.故（ab）e＝ae－be＝ea－eb＝e（a－b），（ab）e＝a（be）＝a（eb）＝（ae）b＝（ea）b＝e（ab），故a－b，ab∈ZE（R），所以ZE（R）为R的子环.

证明 显然.

众所周知，一个环R是Abelian环当且仅当对每个e∈E（R），总有ae＝eae，其中a是R的任意元素.利用子环ZE（R），可以给出Abelian环的新刻画.

定理4 下列各命题等价：1）R为Abelian环；2）ZE（R）＝R；3）ZE（R）是R的理想；4）E（R）⊆ZE（R）.

证明 1）⇒2）⇒3）显然.3）⇒4）对每个e∈E（R），由于ZE（R）是R的理想且1∈ZE（R），故e＝e1∈ZE（R）.从而E（R）⊆ZE（R）.

4）⇒1）对每个e∈E（R），由4）知，e∈ZE（R）.对任意a∈R，记g＝e＋ae－eae，则g∈E（R），且ge＝g，eg＝e.由于e∈ZE（R），则eg＝ge，从而g＝e.所以对任意a∈R，ae＝eae，所以R为Abelian环.

一个环R是Abelian环当且仅当对每个e∈E（R），总有l（e）＝l（Re）［14］，利用反幂等元与Potent元，也可给出Abelian环的如下刻画，其证明是显然的.

定理5 下列各命题等价：1）R为Abelian环；2）对每个e∈OE（R），l（e）＝l（Re）；3）对每个e∈PE（R），l（e）＝l（Re）.

设R为一个环，记N2（R）＝｛r∈R｜r2＝0｝，利用N2（R）和ZE（R）的关系，可得如下结论.

定理6 设R为一个环，且N2（R）⊆ZE（R），则1）R为直接有限环.2）如果R为exchange环，则R为clean环.

证明 （1）设a，b∈R且ab＝1.记e＝ba，则e∈E（R），ae＝a，eb＝b.记h＝a－ea，则h＝he，eh＝0，h2＝hh＝heh＝0，所以h∈N2（R）⊆ZE（R）.因此h＝he＝eh＝0，于是a＝ea，从而1＝ab＝eab＝e＝ba，所以R为直接有限环.

（2）设x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R.记e＝xy，1－e＝（1－x）z，可设y＝ye，z＝z（1－e）.经过计算可知（x－（1－e））（y－z）＝1－（1－e）y－ez.由于（1－e）y＝（1－e）ye∈N2（R）⊆ZE（R），所以（1－e）y＝（1－e）ye＝（（1－e）y）e＝e（（1－e）y）＝e（1－e）y＝0.同理可证，ez＝0.因此（x－（1－e））（y－z）＝1.由（1）知（y－z）（x－（1－e））＝1，所以x－（1－e）是可逆元，从而R是clean环.

由定理4和定理6，可得推论8，它是文献［7］的重要结果.

推论2 设R是Abelian环，则1）R为直接有限环.2）如果R为exchange环，则R为clean环.

推论3 设R为一个环，N2（R）⊆ZE（R），x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，则x为clean元.

证明 由于xn是clean元，则有可逆元u，幂等元f，使xn＝u＋f.记e＝u－1（1－f）u，则u（xn－e）＝u（u＋f）－（1－f）u＝（xn－1）xn∈Rx，故e＝xn＋u－1（xn－x2n）∈Rx且1－e＝1－xn－u－1xn（1－xn）＝（1－u－1xn）（1－xn）∈R（1－x），因此x是exchange元.定理6的证明知，x为clean元.

推论4 设R为一个环，N2（R）⊆ZE（R），x∈R.若x2是clean元，则x和－x为clean元.

设e∈E（R），记ZEe（R）＝｛r∈R｜rg＝gr，e≠g∈E（R）｝，显然子环ZE（R）具有如下性质：

定理7 设R为一个环，则对每个e∈E（R），当0≠e≠1时，ZE（R）＝ZEe（R）.

定理8 设R为一个环，a∈ZE（R）.若a为R中的von Neumann正则元，则a为ZE（R）中的von Neumann正则元.

证明 设a＝aba，b∈R，由于ab，ba∈E（R），a∈ZE（R），故a＝（ab）a＝a（ab）＝a2b，a＝a（ba）＝（ba）a＝ba2.所以a2b＝ba2，从而a2b3＝b3a2.由于对每个e∈E（R），ba2e＝ae＝ea＝ea2b＝a2eb，故b3a2e＝a2eb3＝ea2b3＝eb3a2，从而b3a2∈ZE（R），且a（b3a2）a＝ab2（ba2）a＝ab2＝ab2aa＝ab2a2＝ab（ba2）＝aba＝a.故a为ZE（R）中的von Neumann正则元.

推论5 设R为VNL－环，则ZE（R）也为VNL－环.

证明 ∀a∈ZE（R），则a与1－a至少有一个为R中的von Neumann正则元.由于1－a∈ZE（R），由定理8，则a与1－a中至少有一个为ZE（R）中的正则元.从而ZE（R）也为VNL－环.

众所周知，一个环R是强正则环当且仅当R是von Neumann正则环和Abelian环［15］.由于ZE（R）是R的Abelian子环，从而由定理8，有下面的推论.

推论6 设R为von Neumann正则环，则ZE（R）为强正则环.

文献［2］证明：一个环R为约化环当且仅当R为n－正则环和Abelian环.从而由定理8，因此有推论：

推论7 设R为n－正则环，则ZE（R）为约化环.一个环R称为π－正则环，若对每个a∈R，存在n≥1，使得an是von Neumann正则元.一个环称为强π－正则环，若对每个a∈R，存在n≥1，使得an是强正则元.根据文献［16］，强π－正则环是π－正则环，但反之未必.由定理8，可得推论：

推论8 设R为π－正则环，则ZE（R）为强π－正则环.

根据［6］，一个环R称为exchange环，如果对每个x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R.由文献［3］可知，VNL－环是exchange环.众所周知，只含有两个幂等元的exchange环是局部环.

定理9 设R为VNL－环，则R不能写成理想的直和当且仅当ZE（R）为局部环.

证明 必要性 设R为VNL－环，由推论5，ZE（R）也为VNL－环，从而ZE（R）为exchange环.若ZE（R）不是局部环，则有0≠e≠1，e2＝e∈ZE（R）.对任意a∈R，记g＝e＋ae－eae，则g2＝g.故eg＝ge，所以e＝g，从而ae＝eae.同理可证，ea＝eae.因此ae＝ea，所以e为中心元.从而1－e也为中心元，所以R＝eRe⊕（1－e）R（1－e）为理想的直和，与假设矛盾.故ZE（R）为局部环.

充分性 若R＝I1⊕I2⊕…⊕In是理想的直和.故Ii＝Rei，i＝1，2，…，n，其中＝ei为中心元，故ei∈ZE（R），i＝1，2，…，n.所以ZE（R）不是局部环，矛盾.

由于局部环的交换子环是局部环且对每个环R，R的中心Z（R）是ZE（R）的子环，从而由定理9的证明可以看出：

推论9 设R为VNL－环，则R不能写成理想的直和当且仅当Z（R）为局部环.

定理10J（R）∩ZE（R）＝J（ZE（R））.

证明 显然J（R）∩ZE（R）是ZE（R）的理想.现对任意x∈J（R）∩ZE（R），1－x是R中的可逆元，所以存在a∈R，使（1－x）a＝a（1－x）＝1，故1－x＝（1－x）a（1－x）.因为a3（1－x）2∈ZE（R），且（1－x）a3（1－x）2（1－x）＝1－x，所以（1－x）a3（1－x）2＝a3（1－x）2（1－x）＝1，故1－x在ZE（R）中可逆，从而J（R）∩ZE（R）⊆J（ZE（R））.因此J（R）∩ZE（R）＝J（ZE（R））.

设R为一个环，记NV（R）＝｛a∈N（R）｜a是von Neumann正则元｝.利用NV（R），可得如下结论.

定理11 一个环R为约化环当且仅当R为n－正则环且NV（R）⊆ZE（R）.

证明 当R为约化环时，R为n－正则环和Abelian环，由定理4，NV（R）⊆R＝ZE（R），所以必要性成立.

反过来假设R为n－正则环且NV（R）⊆ZE（R）.如果R不是约化环，则有0≠a∈R，使得a2＝0.由于R为n－正则环，则a∈NV（R）且存在b∈R，使得a＝aba.由于NV（R）⊆ZE（R）且ba∈E（R），所以a＝aba＝baa＝0.矛盾！因此R为约化环.

利用定理11，可得下面的推论.

推论10 一个环R为强正则环当且仅当R为正则环且NV（R）⊆ZE（R）.

一个环R称为有稳定域1，如果对任意a，b∈R，当aR＋bR＝R，必有y∈R，使得a＋by是R的可逆元.众所周知，一个exchange环R有稳定域1当且仅当R的每个von Neumann正则元是可逆正则元.由于强正则元总是可逆正则元，所以推论10暗示下面的推论.

推论11 设R为exchange环且NV（R）⊆ZE（R），则R有稳定域1.

［1］Goodearl K R.Von Nenmann Regular Rings［M］.Florida：Kriege Publishing Company，1991.

［2］Wei Junchao，Chen Jianhua.Nil－injective rings［J］.Intern Electron J Algebra，2007（2）：1－21.

［3］Chen Weixing，Tong Wenting.On noncommutative VNL－rings and GVNL－rings［J］.Glasgow Math J，2006，48：11－17.

［4］Kim N K，Lee Y.Armendariz rings and reduced rings［J］.J Algebra，2000，223：477－488.

［5］Raphael R.Some remarks on regular and strongly regular rings［J］.Canad Math Bull，1974/75：17（5）：709－712.

［6］Nicholson W K.Lifting idempotents and exchange rings［J］.Trans Amer Math Soc，1977，229：269－278.

［7］Yu Huaping.On quasi－duo rings［J］.Glasgow Math J，1995，37：21－31.

［8］Yu Huaping.Stable range one for exchange rings［J］.J Pure Apple Algebra，1995，98：105－109.

［9］Wei Junchao，Li Libin.Quasi－normal rings［J］.Comm Algebra，2010：38：1855－1868.

［10］Wei Junchao，Li Libin.Nilpotent elements and reduced rings［J］.Turk Math J，2010，34：1－13.

［11］Wei Junchao，Li Libin.Weakly normal rings［J］.Turk Math J，（to appear）.

［12］Wang Shuping.On op－idempotents［J］.Kyungpook Math J，2005，45（2）：171－175.

［13］Chen Huanyin.A note on potent elements［J］.Kyungpook Math J，2005，45（4）：519－526.

［14］Kim J Y.On reflexive principally quasi－baer rings［J］.Korean J Math，2009（17）：233－236.

［15］Rege M B.On von Neumann regular rings and SF－rings［J］.Math Japonica，1986，31（6）：927－936.

［16］Nicholson W K.Strongly clean rings and Fitting's lemma［J］.Comm Algebra，1999，27（8）：3583－3592.

Idempotent Commutative Subrings

QU Yin－chun1，2，WEI Jun－chao2，LI Li－bin2

（1.Wuxi Institute of Technology，Wuxi 214073，China；
2.School of Mathematics Science，Yangzhou University，Yangzhou 225002，China）

This article introduced the idempotent commutative subringZE（R）of the ringR，discussed the conditions of a ring being Abelian ring by using the properties ofZE（R）.The following result was also proved.Leta∈ZE（R），ifabe the von Neumann regular element ofR，then it must be the von Neumann regular element ofZE（R）.Thus ifRis a VNL－ring，then so isZE（R）.

idempotent elements；idempotent commutative subring；von Neumann regular elements；VNL－ring

O153.3；O154 MSC2010：13M05

A

1674－232X（2011）05－0399－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2011.05.003

2011－03－16

国家自然科学基金项目（10771182）；江苏省普通高校研究生科研创新项目（CX09B＿309Z）.

屈寅春（1977—），男，江苏扬州人，讲师，主要从事群论和环论研究.

＊通信作者：魏俊潮（1968—），男，江苏兴化人，副教授，主要从事代数环论研究.E－mail：jcweiyz＠yahoo.com.cn