π-H-模余代数的Morita-Takeuchi关系*

陈丹慧， 李金其， 张 涛

(1．浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;2．武警上海政治学院数理教研室，上海200435)

0 引言

Morita定理在研究模和环的性质中有着很重要的地位．Takeuchi［1］给出了余模的Morita关系，故称之为Morita-Takeuchi关系，简称为M-T关系，它为研究余模和余代数的性质提供了新的方法．

若H是域K上的co-Frobenius Hopf π-余代数，A是π-H-余模代数，文献［2］建立了Smash积π-分次代A°之间的Morita关系．本文则研究了π-H-模余代数，得到了与之相对应的M-T关系．

本文的讨论都在域 K上进行，为完整起见，先给出一些基本概念［1，3-4］．为方便，文中省略和号“∑”．

设C是余代数，(M，ρM)是右C-余模，(N，ρN)是左 C-余模，余张量积 M□CN 是指 ρM⊗idN－idM⊗ρN:M⊗N→M⊗C⊗N的核，即 M□CN=ker(ρM⊗idN－idM⊗ρN)．

定义 1［3］Hopf π-余代数 H=({Hα，mα，1α}，Δ，ε，S)指的是 π-余代数 H=({Hα}，Δ，ε)及一族线性映射 S={Sα:Hα→Hα－1}α∈π(称为 H 的对极)满足:

1)对任意的 α∈π，(Hα，mα，1α)为代数;

2)对任意的 α，β∈π，Δαβ:Hαβ→Hα⊗Hβ及 ε:H1→K 为代数同态;

3)对任意的 α∈π，mα(Sα－1⊗idα)Δα－1，α= ε1α=mα(idα⊗Sα－1)Δα，α－1．

显然，(H1，m1，11，Δ1，1，ε，S1)是 Hopf代数．

若对任意的α∈π，Hα都是有限维的，则称Hopf π-余代数H是有限型的;若每个Sα都是双射，则称对极 S={Sα}α∈π是双射．

1 π-H-模余代数

定义2 设H是Hopf π-余代数，C是余代数．若对任意的α∈π，C是Hα-模，且对任意的α，β∈π，c∈C，hαβ∈Hαβ，l∈H1，满足 Δ(hαβ·c)=h(1，α)·c1⊗h(2，β)·c2，ε(l·c)= εH(l)εC(c)，则称 C 为左 π-H-模余代数．

由文献［3］知，设 H 是 Hopf π-余代数，V 是线性空间．若对任意的 α，β∈π，ρVα:V→V⊗Hα满足

则称(V，{ρVα}α∈π)是右 π-H-余模．

定义 3 设 H 是 Hopf π-余代数，C 是余代数，且(C，{ρCα}α∈π)是右 π-H-余模．若对任意的 α∈π，满

定义4 设 C 是左 π-H-模余代数．若对任意的 α∈π，φα:C→Hα是 Hα-模同态，则称 φ ={φα}α∈π为C的π-余积分．

定理1 设C是左π-H-模余代数．若存在π-余积分 φ={φα}α∈π，且对任意的 α，β∈π满足

证明 对任意的c∈C，有:

定理2 设C是左π-H-模余代数．若存在π-余积分φ={φα}α∈π，且对任意的α，β∈π满足式(1)，则 C ×H=({C⊗Hα}α∈π，Δ ={Δαβ}，ε)为 π-余代数，称之为 π-Smash 余积．其中，对任意的 c∈π，h∈

证明 对任意的 α，β，γ∈π，有

易证(idα⊗ε)Δα，1=(ε⊗idα)Δ1，α=id．所以，C × H 为 π-余代数．

2 Morita-Takeuchi关系

引理2 设C是左π-H-模余代数．若存在π-余积分φ={φα}α∈π，且对任意的α，β∈π满足式(1)，则C有诱导的左和右的π-C×H-余模结构，其中对任意的α∈π，c∈ C，定义

证明 对任意的α，β∈π，c∈C，有:

证明 由引理3的1)及式(2)和式(4)知，对任意的α∈π，有

证明 1)先证明f的定义是合理的(其中记Δ(λα)=λα(1)⊗λα(2))．由于

故Im G⊆C□˜C×HC．另一方面，由于

有了以上的准备工作，可得到定理3．

［1］Takeuchi M．Morita theorems for categories of comodules［J］．J Fuc Sci Univ Tokyo Sect 1A Math，1977，24(3):629-644．

［2］Wang Shuanghong．Morita contexts，π-galois extension for Hopf π-coalgebras［J］．Comm Algebra，2006，34(2):521-546．

［3］Virelizier A．Hopf group-coalgebras［J］．J Pure Appl Algebra，2002，171(1):75-122．

［4］Sweedler M E．Hopf algebra［M］．New York:Benjamin，1969．