一类新拟移位映射和Möbius带上的吸引子*

俞春叶， 陈凤娟

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

1967年，Smale［1］构造了著名的马蹄模型，并运用2-符号空间Σ2上的移位映射刻画了它的混沌动力学性质．许多复杂的自映射存在子系统(X，f)与(Σ，σ)拓扑共轭，其中Σ为相应的符号空间，σ为移位映射．

近年来，一些文献给出了不同于传统移位映射的拟移位映射或部分变号移位映射，并用这些拟移位映射刻画了某些自映射的混沌动力学性质［2-4］．

式(1)中

文献［3］用该类映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射．

式(3)中，对称元a^i的意义同式(2)．文献［2］对τ2给出了一个具有奇异吸引子的模型，且证明了(Σ2，τ2)与移位映射(Σ2，σ)拓扑共轭．

本文了给出双边符号空间Σ2上的另一类新拟移位映射，它是半符号空间上的自同胚映射，并用它刻画了Möbius带上一类新映射˜F的混沌动力学性质．

1 一类新的拟移位映射

定义 1 设集合 A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}⊂Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}⊂Σ2．显然，A∪B=Σ2．称这样的 A 和 B 为半符号空间．

定义 2 D={a=(… a-n…a-2a-1;a0a1a2… an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}⊂A．

定义3 定义一类新的拟移位映射 τ3:Σ2→Σ2为:对∀(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2，有

式(4)中，对称元a^i的意义同式(2)．称τ3为符号空间Σ2上的拟移位映射．

为便于说明，用符号“-1”代替“0”，符号“1”不变．

定义映射 ζ:Σ2→Σ2为:对∀a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2，有

其中，“×”为传统意义上的乘法运算．于是

比较式(4)与式(5)，得ζ与τ3具有相同的作用．

定理1 映射ζ是半符号空间A的自同胚．

证明 先证映射ζ既是单射又是满射．易证ζ是单射，故只证ζ为满射．对∀s=(…s-n…s-1;(-1)

因此，映射ζ在半符号空间A上既是一一映射，又是连续映射，从而映射ζ是半符号空间A的自同胚．定理1证毕．

性质1 映射ζ有且仅有不动点a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…)，a0∈{1，-1}．

性质2 存在同胚映射 η:Σ2→Σ2，对∀a ∈D⊂A，有 σ ◦η(a)=η ◦ζ(a)．

证明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D，作同胚映射η满足

从而

同时

因此，σ ◦η(a)=η ◦ζ(a)．性质2证毕．

2 Möbius带上的奇异吸引子

文献［1］将 Möbius带表示为 M={(x，p)|p=reiπx，x ∈［0，1)，r∈［-0．5，0．5)}，同时在 M 上定义连续自映射F，且用一类拟移位映射刻画了F在不变集Λ上的混沌动力学性质．本文给出M的另一种表示方法及其上一类新的映射˜F，并研究了它的动力学性质．现将Möbius带表示为

定义

M0与M1为Möbius带M上相接的两部分，如图1所示．

图1 Möbius带及其上映射˜F的作用

在M0∪M1上定义连续自映射˜F为

由以上分析及Λ'的结构知，为了得到˜F在Λ'上的动力学性质，需在A中去除某些序列．记˜A={s∈A| ∀s=(…s-n…s-1;(-1)s1…sn…)，∀N∈Z+，∃i≥N，si≠1}．

定理2(˜F，Λ')与(τ3，˜A)拓扑共轭．

证明 关于符号的记法及二进制展开等相关知识可参考文献［2，5］．从Möbius带的表示方法知，M数表示分别为:

同时

因此，τ3◦φ =φ ◦F．定理2证毕．

从(Σ2，σ)可知，˜F在其吸引子Λ'上具有混沌动力学性质．

［1］Smale S．Differentiable dynamical systems［J］．Bull Amer Math Soc，1967(73):747-817．

［2］陈芳跃，陈凤娟．符号空间的拟移位和Möbius带上的奇怪吸引子［J］．应用数学和力学，2003，23(7):747-754．

［3］李明军，李开泰．一类描述混沌映射的符号动力系统［J］．高校应用数学学报，1999，14(2):125-129．

［4］麦结华．用5-进制小数描述 Smale马蹄映射［J］．科学通报，1993，38(21):1432-1435．

［5］韩茂安，邢业朋，毕平．动力系统导论［M］．北京:机械工业出版社，2007:310-345．