利用Matlab模拟布朗运动测量实验

冉诗勇

（温州大学，浙江温州 325035）

利用Matlab模拟布朗运动测量实验

冉诗勇

（温州大学，浙江温州 325035）

利用matlab工具模拟了布朗运动测量的实验。通过一正态随机数产生函数模拟从而产生布朗运动步距。在假定粒子所受拖曳力满足斯托克斯关系的情况下，通过拟合多个粒子的均方位移随时间的变化曲线得到斜率，从而进一步可得出扩散系数和波尔兹曼常数。同时，根据模拟结果也对如何减小实验误差作了分析。

布朗运动；计算机模拟；扩散系数

布朗运动本质可认为是一种随机涨落现象，悬浮在气体或液体中的微粒周围各方向的气体或液体分子撞击微粒，产生一种净涨落力，从而使微粒无规运动［1－2］。

布朗运动可以利用光学显微镜进行测量，结合计算机和视频采集、图像处理分析技术，可以定量分析在溶液中粒子的布朗运动［3］。一般做法是在显微镜下跟踪记录微米量级粒子的运动，然后分析采集到的运动图像序列得到粒子的二维运动轨迹，然后求粒子的均方位移，然后对多个粒子的数据进行统计平均，得到均方位移-时间曲线，通过拟合曲线的斜率，得出一系列实验参数如扩散系数，波尔兹曼常数，系统温度等实验参数［4］。

本文在从这些实验的典型实验参数出发，从计算机模拟这一角度对布朗运动进行研究，模拟了多个粒子的布朗运动轨迹，对多个粒子的均方位移数据平均以减小误差，然后通过拟合均方位移-时间曲线得出斜率，进而得到粒子扩散系数和玻尔兹曼常数，并与理论值相比较。

1 实验原理

对于一维情况，粒子布朗运动均方位移

在模拟或实验中，可以对＜r2＞二维－t图进行线性拟合，得到斜率k，从而D＝k／4。布朗运动粒子在t到t＋Δt的时间内x或y方向的移动步距δ分布满足高斯分布：

由于粒子在各个维度运动等价，可以将式（1）推广到二维或三维情形，因此有

其中：d等于1，2或者3，分别对应于一维，二维或三维情况。

对于显微镜下的粒子跟踪法测量实验，通常只对焦平面上的二维运动轨迹作测量，因此有

2 计算机模拟

模拟分以下几个步骤进行：

（2）接下来将这一组随机分布量依次叠加，得到粒子在每一时刻的坐标（x，y）即每个时刻相对于初始位置的位移，这一过程可通过matlab中的cumsum函数实现。

（3）计算不同时刻位移的平方：r2＝x2＋y2。

（4）上述步骤只对一个粒子进行了模拟，这样拟合得到的数据误差是很大的，为减小误差，需要对多个粒子进行模拟然后对数据作平均，这一步骤可通过一个for循环语句实现。这样

其中＜r2＞为第i个粒子的均方位移，n为模拟的粒子个数。然后画＜r2＞ -t图，用最小二乘法线性拟合＜r2＞-t图的斜率k，这样D＝k／4。

3 参数选取

图1 模拟得到的3个典型的粒子布朗运动轨迹

图2 对10，100，1000，10000个粒子的轨迹跟踪测量数据平均得到的＜r2＞- t模拟数据值，线性拟合以及理论预测曲线比较

4 模拟结果与分析

图1显示了3个粒子的布朗运动轨迹，很好地体现了布朗运动的无规行走特性＜r2＞-t。图即通过对多个这样的布朗运动轨迹计算位移均方差然后进行统计平均得到。图2依次显示了通过对10，100，1 000和10 000个粒子的轨迹跟踪测量数据平均得到的＜r2＞-t模拟数据值，线性拟合以及理论预测曲线。可以看出，如果仅仅对10个粒子的数据进行平均，模拟数据与理论预测的线性趋势相差甚远，随着模拟粒子个数的增加，数据越来越接近线性趋势，拟合误差也相应减小。当模拟的粒子个数高达10 000个以上时，模拟数据已几乎与理论预测完全一致了。图3显示了多次测量下四种不同个数粒子情况下所得到的扩散系数值。根据模拟预先设定的参数，可以计算出扩散系数理论预测值D＝0.978μm2／s。在仅仅只对10个粒子平均的情况下，D值测量标准差为0.31μm2／s，会经常出现有偏离理论预测值甚远的情况。而随着模拟粒子个数的增加，其测量值的标准差也随之减小（图3），所得出的扩散系数精确度有明显提高。在1 000个粒子的情况下，每次测量的扩散系数误差已基本可控制在3%。图3嵌图显示了标准差随着模拟粒子个数的开方倒数成线性关系。

图3 多次测量下四种不同个数粒子情况下所得到的扩散系数值（嵌图：D值测量标准差随着模拟粒子个数的开方倒数成线性关系）

本模拟结果也可为显微镜下通过粒子跟踪方法测量粒子运动轨迹所需要平均的粒子个数提供参考，为减小扩散系数的测量误差，可以增加跟踪粒子的个数，一般在100～1 000左右的粒子个数可以达到相对比较高的精确度。在实验上，跟踪100个左右的粒子是可行的。由100个粒子的模拟数据即图2b可观察到随着模拟时间的增加，模拟数据偏离理论预测的趋势越来越明显，而在最初的较短的10 s模拟时间内，偏离趋势尚不明显，因此实验上为进一步减小误差，可相应减少测量时间。而在实验上跟踪分析1 000左右的粒子运动轨迹则需要较多的工作量，尽管这样可以减小误差。而计算机模拟可只用一个循环过程便可得到多个粒子的轨迹，因此计算机模拟相较实验具有处理时间短的优越性，可在最短的时间内展示布朗运动实验的物理内涵。

图4 在x，y方向上耦合有0.1σ，0.2σ定向运动的＜r2＞-t图与纯布朗运动的情况相比较

5 总 结

本文从显微镜测量布朗运动实验的计算机模拟角度出发，模拟了自由粒子的布朗运动，模拟得到的扩散系数和玻尔兹曼常数与理论预测符合良好，模拟得到的扩散系数标准差与所模拟的粒子个数的平方成反比。综上，计算机模拟方法可与实验相结合，通过测量扩散系数或者进一步测量玻尔兹曼常数，为理解布朗运动的物理本质提供一种简洁辅助的手段。

［1］ Einstein，A.Investigations on the theory of the Brownian movement［M］.NY：Dover.1956.

［2］ Stachel J.爱因斯坦奇迹年［M］.上海：上海科技教育出版社，2007.

［3］ 冉诗勇.利用光学显微镜测量布朗运动［J］.实验室研究与探索，2009，72（4）：56-59.

［4］ Nakroshis P，Amoroso M，Legere J.Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion.American Journal of Physics［J］.2003，71（6）：568-573.

［5］ Uhlenbeck G E，Ornstein L S.On the theory of the Brownian motion［J］.Phys.Rev.1930（36）：823–841.

［6］ Feyman R P，Leighton R B，Sands M.费曼物理学讲义：1卷［M］.上海：上海科学技术出版社，2006.

［7］ 王诚泰.统计物理学［M］.北京：清华大学出版社，1991.

Simulation of Brownian Motion Experiment Using Matlab

RAN Shi-yong

（Wenzhou University，Zhejiang Wenzhou 325035）

Brownian motion experiment was simulated using Matlab.The step lengths for a Brownian particle movements were generated by a random function，which generated arrays of random numbers whose elements are normally distributed.From the mean squared displacement of the simulated particles versus time curves，the diffusion constant and Boltzmann constant were obtained，assuming that the drag force on an individual particle was well defined by the stokes’law.The simulation measurements agreed well with theoretical prediction.According to the results，we also analyzed how to decrease experimental error.

Brownian motion；computer simulation；diffusion coefficient

O552.1

A

1007-2934（2011）06-0067-04

2011-06-25