●(深圳中学 广东深圳 518001)●(广州大学附属中学 广东广州 510050)
一道IMO试题的证明及其推广
●周峻民(深圳中学 广东深圳 518001)●郑慧娟(广州大学附属中学 广东广州 510050)
(第14届IMO试题)
该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数⎣x」.
方次数函数potpn:表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0).如20=22·5,则pot220=2,pot320=0,pot520=1.
下取整函数⎣x」:表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分).如⎣1.2」=1,⎣3」=3.
这2个数论函数在数论中非常有用,由定义可得到下列简单的性质:
性质1potp(mn)=potpm+potpn.
性质2b/a是整数的充要条件是:对任意素数p,有potpb-potpa≥0.
性质3⎣x」+⎣y」≤⎣x+y」≤⎣x」+⎣y」+1.
性质4当n是整数时,⎣n+x」=n+⎣x」.
将这2个数论函数联系到一起,得到以下性质:
证明由性质1知
potp(2m)!(2n)!=potp(2m)!+potp(2n)!,
potpm!n!(m+n)!=potpm!+potpn!+potp(m+n)!.
[potp(2m)!+potp(2n)!]-[potpm!+potpn!+potp(m+n)!]≥0.
由性质5,该问题可转化为证明:对任意素数p,
到这一步,思路有点卡住了,因为这5个“无限求和”是大问题.能否把这5个“无限求和”合并呢?合并之后,如果每一项的值非负,那么它们的和也是非负的.于是,希望得到:对任意素数p和任意正整数i,必有
(1)
由于式(1)中素数p是任意的,正整数i也是任意的,因此更一般地,如果可以做到:对任意实数x,y,必有
(2)
那么问题就迎刃而解了.
式(2)中x,y是任意实数,范围有点大,下面尝试把x,y的范围变小.设x=⎣x」+a,y=⎣y」+b,其中a,b∈[0,1).由性质4知
⎣2x」=2⎣x」+2⎣a」,⎣2y」=2⎣y」+⎣2b」,⎣x+y」=⎣x」+⎣y」+⎣a+b」,
代入可得
⎣2x」+⎣2y」-⎣x」-⎣y」-⎣x+y」=
(2⎣x」+⎣2a」)+(2⎣y」+⎣2b」)-⎣x」-⎣y」-(⎣x」+⎣y」+⎣a+b」) =⎣2a」+⎣2b」-⎣a+b」,
再次简化得:对任意实数a,b∈[0,1),必有
综上所述,对任意实数a,b∈[0,1),式(3)恒成立,命题得证.
由试题的证明过程可知,IMO.14.3的背景就是式(2),而式(2)又可简化为式(3),由此可编制出相同背景的试题.
上面3个推广和IMO.14.3“形状”相似,解法也相似,留给感兴趣的读者.
乍一看,推广4与IMO.14.3“形状”相似,但是仔细观察可发现2n-2 对任意实数x,必有 ⎣2x-2」≥⎣x」+⎣x-2」,⎣2x-2」≥⎣x-1」+⎣x-1」. 类似于IMO.14.3的证明方法,可得P,Q是整数. 推广5~7与推广4的证法类似.下面2个推广与推广4的证法不一样,留给感兴趣的读者. 推广9证明:m!n!整除(mn)!. [1] 柯召,孙琦.数论讲义[M].北京:高等教育出版社,2001. [2] 潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,2003. [3] 柳柏濂,吴康.竞赛数学的原理和方法[M].广州:广东高等教育出版社,2003.