基于航天器复杂动力学模型的鲁棒H∞振动抑制算法

刘 磊，王萍萍，孔宪仁，王本利

(哈尔滨工业大学，哈尔滨150001)

基于航天器复杂动力学模型的鲁棒H∞振动抑制算法

刘 磊，王萍萍，孔宪仁，王本利

(哈尔滨工业大学，哈尔滨150001)

现代大型航天器柔性越来越大，为了获得更好的姿态控制性能，需要主动振动抑制.鲁棒H∞是一种正在走向工程应用的控制器设计方法，DGKF解析法，线形矩阵不等式LMI数值法，定阶H∞范数优化法是3种重要的算法.本文对国际空间站俄罗斯舱的有限元模型提出了振动抑制的H∞综合问题，分别用3种算法求解鲁棒H∞控制器.基于DGKF法的全阶次优控制器，存在零极点对消，而基于LMI法的51控制器光滑，能有效抑制零极点对消，但LMI法不是一种优化算法，两种控制器降阶为2阶时，H∞性能衰退大于80%.基于定阶法的2阶控制器和PI控制器具有与DGKF全阶控制器相近的H∞性能，鲁棒性分析和扰动抑制的时域仿真验证了上述结论.

H∞控制;DGKF法;LMI法;定阶法;振动抑制

现代大型航天器结构复杂，柔性越来越大，并且具有弱阻尼和低刚度的特点，造成低频模态密集，振动对姿态的影响越来越突出，迫切需要主动振动抑制［1-5］.柔性航天器是由偏微分方程描述的分布参数系统，很难得到解析解，所以有限元分析技术得到广泛应用并日趋成熟，直接利用有限元模型设计控制器是一种重要的方法，但是最大的困难就是由于有限元模型的阶数高，如国际空间站需要10000以上自由度的有限元模型［6］，而现代控制器如 LQG，H2，H∞与开环系统具有同样的阶数［6-7］，使得控制器很难执行.

针对庞大自由度的有限元模型，现代控制器设计时采用两种基本的方法:1)充分利用模型降阶技术［7］，对有限元模型降阶，再利用低阶有限元模型设计低阶控制器，或者先利用有限元模型设计全/高阶控制器，然后对得到的控制器降阶.2)固定控制器阶数及结构直接设计低阶控制器.第一种方法研究较多，但对于大型复杂系统设计控制器时将很难进行，如大型望远镜主、次镜的精确修正与控制，需要 1000个压电陶瓷作动器［8］，以及上万个自由度的国际空间站.此外对全阶控制器降阶时，如果要得到更低阶的控制器时，可能使系统的性能严重衰退.并且采用高阶有限元模型设计全阶控制器时，计算效率很低.第二种设计方法简单，但由于是非凸、非光滑优化，理论上没有最优解，只能得到局部次优解，优化过程是一个NP难问题［9］.

最近几年提出了定阶和定结构H∞控制器优化技术，Grigoriadis用交替投影法研究了低阶控制器设计的 LM I问题［10］，Mammadov通过非凸优化研究了 H∞综合问题［11］，Apkarian等人应用增广拉格朗日法和广义梯度技术研究了固定阶和带结构约束的H∞控制器设计问题［12-13］，Prempain研究了绳系直升机 H∞静态输出反馈控制器问题［14］，Burke和 Henrion用混合算法研究定阶控制器H∞范数优化问题，并开发了软件包［15］.

本文采用Draper实验室提供的有限元模型，以主动减振为目标设计H∞控制的综合，分别研究了3种算法:DGKF法、线形矩阵不等式 LMI法和固定阶数和结构的H∞范数优化算法，并比较3种类型控制器设计方法的优缺点.

1 动力学模型描述

式中M，D，K，分别为系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，u为控制输入，q为结点坐标，y为测量输出.

可以利用有限元法建立二阶系统模型:

式中，

美国Draper实验室利用有限元法建立了俄罗斯舱段结构动力学模型，用来分析柔性附件对星体姿态的影响及模型降阶研究［16］.系统由270个状态，A，B，C分别是 270×270，270×3，3×270的矩阵［17-18］，动力学模型有3个输入3个输出，输入为反作用飞轮，输出为3个速率陀螺，分别在俯仰、滚转和偏航通道，Bode图如图2所示，从 Bode图看，俄罗斯舱段低频模态密集，0.5～60 rad/s频带内，振动对姿态的影响严重，在0.775 rad/s处达18dB((°)/s)，零极点阻尼小，阻尼系数只有0.0005.

图1 俯仰通道Bode图

2 鲁棒H∞控制器的设计研究

2.1 鲁棒H∞综合问题的提出及形成

为了减小柔性附件振动对姿态的影响，设计鲁棒H∞控制器，对柔性附件的振动进行抑制.控制器设计如图2所示，是一种混合灵敏度PS/T问题.

图2 鲁棒H∞控制系统结构图

图2中K为待设计的H∞控制器，W1为性能加权函数，W2为控制加权函数，Wd为扰动加权函数，Wn为噪声加权函数，加权函数用来反映输入输出通道的幅值、相对重要性和频域成分.Wu表示姿态控制执行机构输出误差，如式(3)，表示在 0～100 rad/s带宽内误差 10% ～16%，当频率大于 1000 rad/s时，误差大于90%，结构不确定性复矩阵Δ=Δ·I3×3.

在0～100 rad/s带宽范围内设计振动抑制性能，第一个通道的输出小于-15dB，第二个通道的输出小于-17dB，第三个通道的输出小于-20dB;频率大于1000rad/s时为稳定性区间，由于非建模动力学和不确定性的限制，控制器设计指标为鲁棒稳定性.在确定性能加权函数系数的时候，需要反复调整，直到H∞性能指标γ≈1，最终的性能加权为

为了限制控制带宽和控制器输出，并保证稳定性，需要控制加权函数W2，在性能区间W2取小值，在允许范围内保证有足够的控制器增益;在鲁棒稳定区间W2取较大的值，减小控制器增益，保证稳定性.选择的W2如式(5)，W1和 W2的奇异值如图3所示.

图3 加权函数奇异值

确定扰动和噪声加权时，主要考虑幅值及相对重要性，没有考虑它们的频率特性，因此取Wd为单位阵，Wd=I，噪声加权 Wn=0.001I，表示了测量噪声的幅值远小于扰动的幅值.

图2中除了控制器以外的部分就是增广对象P(s)，但不包含结构不确定性块Δ，此时的P(s)是标准系统，它有9个输入和9个输出，前3个输入输出与不确定性块Δ对应.鲁棒H∞控制系统可以表示为线性分式变换，如图4所示.

图4 线性分式变换(LFT)

在图4中，增广对象的开环传递函数 P(s)，输

入 wT=［扰动，噪声］1×6，输出

H∞设计的鲁棒性能如下式:

式中S(s)和T(s)分别是闭环系统的灵敏度函数阵和互补灵敏度阵，γ是设计指标通常取1.

2.2 DGKF法

DGKF法也称为代数黎卡提方程 RIC法，由Doyle，Glover等人提出［19］，通过求解两个 Riccati方程(8)(9)，得到 X∞和 Y∞

进一步可以得到一个中心控制器，中心控制器的形式如下，详细过程见文献［19-21］.

DGKF法得到的控制器与增广对象P(s)的McMillan自由度相同，经二分法迭代［22］， γ=1.0095，全阶控制器的阶数279，奇异值曲线如图5所示.

图5 DGKF法得到的H∞控制器奇异值图

从图5中可以看出，奇异值曲线尖锐部分明显，说明DGKF全阶控制器存在弱阻尼零极点，这是在设计过程中，控制器与对象的弱阻尼零极点发生对消的结果，这也是Riccati方程求解H∞混合灵敏度的结果［23］.

2.3 LM I法

由于俄罗斯舱段是一个弱阻尼系统，阻尼系数仅为0.0005，DGKF法设计H∞控制器存在零极点对消.LMI法是通过3个线性矩阵不等式(11)～(13)来求解式(7)所示的H∞混合灵敏度问题［24］，LMI法是求解次优问题，通过调节R，S，可以避免零极点对消现象的出现.

DGKF法中两个 Riccati方程的解 X∞、Y∞与相对应的LMI的解R、S之间的关系如下

式中NR和NS分别表示和 (C2，D21) 零空间的正交基，然后根据R，S求控制器参数，Gahinet给出了具有数值稳定性的显示算法［24］.但是 LMI法计算量大，求解全阶模型的控制器时计算机容易发生溢出，所以需要对有限元模型适当降阶.

俄罗斯舱段具有270个自由度，50阶之后的Hankel奇异值小于0.001，应用平衡截断法对俄罗斯舱段有限元模型降阶［7］，得到一个50阶的模型，其中Hankel奇异值误差0.16%，用 LMI算法求解降阶有限元模型的H∞控制器，通过控制S消除零极点对消，提高控制器阻尼，但同时控制器的H∞性能也在衰退，零极点对消情况最小时，控制器的H∞性能衰退也最严重，经过折衷，设计的H∞控制器的γ=1.0121，主导极点阻尼系数0.033，奇异值曲线如图6所示，图中可以看出弱阻尼零极点对消得到抑制，LMI控制器优于DGKF全阶控制器.

图6 基于LM I法的51阶控制器

2.4 定阶H∞范数优化算法

固定阶H∞范数优化算法基本思路是:给定开环系统、控制器的阶数，寻找满足约束条件的控制器，使得式(7)闭环系统传递函数Tzw的H∞范数最小，其中Tzw是控制器K(s)的仿射函数，控制器的结构约束也可以与阶数约束一样，可以通过指定，设计低阶并且具有某种结构的鲁棒 H∞控制器.

其中

的结构来指定控制器K(s)的阶数和结构形式，例如具有对角结构的2阶Ks2(s)，即传递函数阵只有对角线上元素不为零的2阶控制器，指定

的结构如下:

其中非零元素为优化变量，待优化的变量21个，对于其他形式的控制器，也可以通过指定.结构越简单，阶数越低，优化变量越少，控制器越容易求解.对于更高阶的控制器，由于需要优化的变量太多，求解效率低，可能偏离最优解更严重，所以固定阶H∞范数优化算法主要用来设计低阶控制器.

固定阶的 H∞控制，采用混合算法，包含在Buke和 Henrion 等人开发出软件包［15，25］，并由 Millstone推广到固定结构H∞范数优化［26］，本节设计定阶和定阶定结构两种类型的H∞控制器.混合算法主要由准牛顿法(BFGS)和梯度采样算法 (GS)构成，用准牛顿法寻找一个局部次优解，梯度采样算法精细化局部解.准牛顿法已经成熟，可以参考［27］，GS算法本质上是可镇定最速下降算法，每次迭代，需要估计迭代梯度，确定下降的方向，流程如下，详细描述见文献［28］.

第二步:通过梯度采样来近似ε-次微分.在单位球中独立采样 λ1，…，λm，并且令 xk0=xk，xkj=，如果对于某些点 xkj∉ D，则停止迭代.计算Gk，且满足

第四步:计算迭代步长.解规划问题tk=maxγ，其中f xk+k-β.

第五步:如果 xk+tkdk∈ D，重置 xk+1=xk+tkdk，k=k+1，回到第二步;如果 xk+tkdk∉ D，任()γ＜f x( )取 xk+ρk内的点满足重置xk+1，使回到第二步.zw∞，k表示迭代次数，xk是当前迭代值，γ表示Backtracking因子，ρk是采样半径，μ表示采样半径衰减因子，θ表示最优化容差衰减因子，m表示采样数，xkj是采样点，gk是最小近似次梯度，dk是寻优方向，tk是步长，L表示局部 Lipschitz连续点集，D表示连续可微点集.

其中f是定义在Rn上连续且几乎处处可微函数，本文中f表示性能指标 T

根据算法，求解的2阶控制器 K2的 H∞性能1.011.进一步设计具有比例积分(PI)结构的鲁棒控制器.由于鲁棒H∞比例积分控制器不能直接设计，本文通过用间接的设计方法，首先在开环增广对象前加一个前置PI滤波其中积分时间常数取10，出于计算的要求，在分母上加很小的正数，前置的PI滤波如下:利用固定阶H∞范数优化算法求解对角的静态增益阵，即 0阶对角 H∞控制器，优化的 H∞范数为1.1629，静态增益Kstatic如下:

PI控制器KPI=WPIKstatic，如下:

3 控制器比较

用3种不同的算法分别计算了H∞控制器，下面对DGKF和LMI控制器降阶，比较3种算法求解的控制器H∞性能，鲁棒稳定性等，并且在频域和时域中进行了仿真.

3.1 DGKF和LM I控制器降阶

由于DGKF法本身的缺陷，使控制器有大量的弱阻尼零极点，其主导极点阻尼系数0.005，这不利于控制器降阶;通过调整 LMI控制器 S矩阵的范数，能够防止控制器与对象零极点对消，把控制器阻尼提高0.033，但同时控制器的H∞性能也衰退为1.0121.

对大自由度小阻尼的H∞控制器模型降阶时，适宜采用了平衡截断法［7，29］，误差类型为加性误差，降阶控制器与定阶法设计的控制器的H∞性能比较见下表1.

表1 控制器H∞性能

DGKF全阶 H∞控制器降为2阶时，闭环系统在在0频率处不稳定，此时不满足最基本的稳定性要求;LMI控制器降为2阶控制器时，H∞性能衰退到原来的21%，与全阶DGKF控制器和LMI控制器相比，HIFOO和 HIFOSO求解的2阶控制器的 H∞性能更接近最优解，性能衰退小于1%，说明局部次优化方法是有效的，而降阶 DGKF和 LMI控制器均达不到设计指标.

3.2 鲁棒稳定性和鲁棒性能分析

控制器的鲁棒稳定性和鲁棒性能是两项重要的指标，由于不确定矩阵是块对角结构的，H∞范数判断稳定性和性能具有保守性，应该采用结构奇异值μ分析系统鲁棒稳定性和鲁棒性能［20］，μ的倒数就是系统相应的鲁棒稳定性极限和鲁棒性能极限.标准闭环系统N等于增广对象P和控制器K的下线性分式变换Fl(P，K)，如式 (18).

w到z的不确定传递函数Tzw如下式(19).

分析Tzw的鲁棒稳定性只需要分析N11-Δ形成的闭环回路结构奇异值即可，如图7(左)所示.鲁棒性能指在扰动或不确定性存在时，控制系统性能的保持能力，分析Tzw的鲁棒性能需要在z到w之间加入性能不确定块Δf，分析如图7(右)所示的闭环系统的结构奇异值.

图7 鲁棒稳定性分析和鲁棒性能分析框图

与表1对应H∞控制器对应的闭环系统稳定性极限如表2所示，从表中可以看出，基于 DGKF法的全阶控制器、基于 LMI法的控制器及定阶法的二阶控制器满足鲁棒稳定性要求，基于定阶法的PI控制器也达到了800%的鲁棒稳定性极限，但是基于DGKF法的2阶控制器不满足鲁棒稳定性要求.

表2 闭环系统鲁棒稳定性极限

H∞控制器鲁棒性能极限如表3所示，表中可以看出DGKF，LMI设计的全阶、高阶控制器具有足够鲁棒性能极限，但是2阶的降阶控制器已经失去了鲁棒性能，定阶法设计的二阶控制器和PI控制器具有足够的鲁棒性能极限，均大于200%

表3 闭环系统鲁棒性能极限

由于控制器设计的过程中没有考虑参数不确定性，所以结构奇异值的上/下界一致性比较好.图8可以看出鲁棒稳定性μ的上/下界非常接近，鲁棒性μ的上/下界也具有同样的特点，鲁棒性能最大结构奇异值μ大于鲁棒稳定性最大μ，说明鲁棒性能极限小于鲁棒稳定性极限.

图8 DGKF全阶控制器鲁棒性μ分析

3.3 时域仿真

时域仿真中，采用0.775rad/s的正弦扰动信号，扰动时间750s，但是只比较俯仰通道的性能，开环响应如图9所示，从开环响应图可以看出开环最大输出 7(°)/s，扰动在 750s停止，1500s之后俯仰输出小于0.4(°)/s，扰动对俯仰姿态影响大，需要反馈抑制振动.DGKF全阶控制器，51阶 LMI，对角鲁棒PI控制器的响应如图10-12所示.

全阶 DGKF闭环响应小于0.007(°)/s，900s之后小于0.0002(°)/s，控制器输出小于1.1 N·m，800s之后小于0.005.

图9 俯仰通道开环响应

图10 基于DGKF全阶控制器的响应

图11 基于LMI法的51阶控制器响应

基于LMI法的51阶控制器闭环响应最大输出小于 0.032(°)/s，900s之后小于 0.0001(°)/s，控制输出小于1.1 N·m，800s之后小于0.001;定结构法(HIFOO)求解的 PI控制器闭环响应输出小于0.12(°)/s，控制输出小于 1.1 N·m，800s之后小于0.003 N·m.

图12 定阶法PI控制器响应

比较各控制器的扰动抑制性能，全阶DGKF控制器的振动抑制性能最好，抑制振动99.9%，基于LMI法的H∞控制器性能相对DGKF衰退4.5%;基于定阶法的PI控制器抑制振动98.3%，定阶法得到的PI控制器与全阶控制器相近的性能.

4 结 论

DGKF法、LMI法和定阶法都是求解 H∞控制器的有效方法.DGKF法对小阻尼系统设计H∞控制器时，存在零极点对消，LMI法可以避免零极点对消，得到的控制器光滑，但是 LMI法不是最优化设计，衰减了H∞性能指标.DGKF法全阶控制器与LMI法51阶控制器在降阶为2阶控制器时，性能明显衰退.定阶法求解的2阶控制器与比例积分PI控制器与DGKF法全阶控制器具有相近的H∞性能，并且具有较好的鲁棒性.频域仿真和时域仿真进一步验证了以上结论.

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Robust H∞Control A lgorithms for Vibration Suppression of Flexible Spacecrafts Based on Complex Dynamic Models

LIU Lei， WANG Pingping， KONG Xianren， WANG Benli
(Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China)

Modern large spacecrafts are more and more flexible，and active vibration suppression is needed to obtain better attitude control performance.Robust H∞control is being widely used in engineering app lication.DGKF method，linear matrix inequality(LMI)method，and H∞fixed-order-and-structure optimization method are three algorithms.In this paper，they are used to solve the H∞controllers for the synthesis problem of International ISpace Station described by a finite elementmodel.Zero-pole cancellation phenomena exists in full order suboptimal controller based on DGKFmethod，while the corresponding 51-order controller based on LMI is smooth and eliminates the zero-pole cancellation，but the LMI isn't an optimization method.The H∞performance of their reduced 2-order controllers is degraded more than 80%.The 2-order and PI controller based on fixing-order optim ization has the sim ilar H∞performance of DGKF based full order optimal controllers.The results are proved by robustness analysis and time domain simulation of disturbance suppression.

H∞control;DGKF method;LMImethod;fixing-order method;vibration suppression

V448.

A

1674-1579(2011)02-0006-08

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.02.002

2010-10-20

刘 磊(1981-)，男，河南人，博士研究生，研究方向为航天器精确定向与主动隔振技术研究(e-mail:liuharbin@gmail.com).