基于Δ-γ等效变换的SGCMG高速转子轴向振动特性分析及验证

罗睿智，虎 刚，王全武

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190;3.中国长城工业总公司，北京100195)

基于Δ-γ等效变换的SGCMG高速转子轴向振动特性分析及验证

罗睿智1，2，虎 刚3，王全武1

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190;3.中国长城工业总公司，北京100195)

悬臂式单框架控制力矩陀螺(SGCMG)的轴向振动较为剧烈，频率成分也比较复杂;由于这种SGCMG结构是由众多串、并联，甚至桥联的弹性构件组成的，因此难以建立其精确的轴向动力学模型.首先通过Δ-γ等效变换的方法，简化了高速转子的轴向串并联关系，进而计算出其轴向刚度;其次详细分析了系统激振源---预紧轴承各零部件的加工波纹所导致的预紧力的波动，并采用相互调幅的形式描述了该波动量;然后建立了高速转子的轴向动力学方程;最后通过数值仿真和实测结果的对比验证了分析的合理性和模型的有效性.

Δ-γ等效变换;轴承加工偏差;高速转子;轴向振动;动力学建模

随着航天科技的发展，对敏捷卫星等航天器提出了更高的目标---高精度、高稳定性和快速姿态机动.SGCMG在理论上能够输出大范围的精细的控制力矩，因此它是实现上述目标的理想执行机构.其主要由高速转子、连接支架和低速伺服系统构成.其中高速转子又包括:轴承组件、轮体、电机和壳体等，其外形如图1的左图所示，右图示意了其内部结构.其中轴承组件是由安装壳、内外加载套筒、定位角接触球轴承以及左右锁紧螺母和加载螺母等构成.在加载螺母的预紧力作用下，使得轴承组件中的各零部件产生预变形，目的在于预变形提高了定位角接触球轴承的刚度，进而提高了高速转子的集成刚度.在高速转子运行过程中，轮体、电机转子、轴承安装壳及轴承外圈等零部件构成一个整体并高速旋转---旋转体，支撑于悬臂高速主轴上.

高速转子是悬臂式SGCMG中储存角动量的核心部件，同时也是影响卫星姿态稳定和指向精度的较大的干扰源［1-2］.恶化了航天器内环境，降低了星上精密仪器的性能［1］.尤其是它严重降低了高分辨率相机的成像质量［2］，甚至会激发星上柔性结构的共振［3］，因此必须抑制其振动.但是首先必须了解其振动特性.通过振动测试发现SGCMG的高速转子的轴向振动相对较大.而且转子的轴向干扰主要体现在轴向干扰力，而轴向干扰力矩的影响很小［4-5］.文献［5］等分析了高速转子产生轴向振动的原因，并进行了初步的理论研究，但是文中并没有给出参数确定的方法，也没得到验证.其实从图1中可见高速转子的结构复杂，难以直接计算其轴向刚度.文献［6］针对轴承的振动情况进行研究，并指出轴承零件滚动表面的形状偏差(包括椭圆度、棱圆度、波纹度和粗糙度等)是轴承振动量的最主要原因，不过其假设零件的综合作用等于各个零件单独作用的线性叠加，这使得模型输出不能覆盖所有的频率成分，也没得到试验验证.因此本文在线性假设的基础上，首先采用Δ-γ等效变换法得到高速转子系统的轴向刚度，其次分析了其轴向振源特性---轴承加工波纹.然后建立了高速转子的轴向动力学模型，分析了其轴向振动特性，最后通过仿真和测试结果对比，验证了模型的有效性和分析的合理性.

1 轴向刚度的等效变换原理

根据航天产品的结构特点和工况要求不妨作如下假设:(1)处于工作状态的高速转子的所有零部件的变形都在线弹性范围内;(2)在预加载作用下，各个弹簧都处于预变形状态，并且任意工况都不会改变弹簧变形的极性;(3)在分析高速转子的轴向刚度时，暂时忽略各个弹簧的质量和阻尼.

在上述假设的前提下将高速转子中的所有零部件都等效为不同刚度的弹簧，其等效结构图如图2所示.由图可见，各个弹簧构成复杂的串并联和桥联关系，难以直接写出系统的轴向刚度.本文借助于Δ-γ等效变换的思想来计算系统的轴向刚度.

图1 高速转子的外形图、内部结构示意图及坐标系

图2 转子系统轴向质量-弹簧等效模型

显然，图2中包括若干个如图3所示的星形γ和三角形Δ结构单元.下面进行Δ-γ等效变换.

等效变换的原则为:(1)三个端点中两两之间的相对位移相等;(2)任意两端点之间的回复力相等.则任意两点之间刚度相等.下面分三种情况分别进行等效分析.

图3 三角形Δ-星形γ等效变换图

1.1 ab两点间的等效(即断开c点)

1)在Δ中ab两点间的刚度

Kya和Kyb串联刚度为:

Kacb再与Kyc并联刚度，即ab间的刚度为:

2)在γ中ab两点间的刚度

由此可见，ab两点之间的刚度等效关系式为:

1.2 bc两点间的等效(即断开a点)

1)在Δ中bc两点间的刚度:

2)在γ中bc两点间的刚度:

由此可见，bc两点之间的刚度等效关系式为:

1.3 ca两点间的等效(即断开b点)

1)在Δ中ca两点间的刚度:

2)在γ中ca两点间的刚度:

由此可见，ca两点之间的刚度等效关系式为:

1.4 等效刚度公式

根据等式(1)～(3)可解出将Δ单元等效变换为γ单元的等效变换刚度如下:

根据等式(1)～(4)可解出将γ单元等效变换为Δ单元的等效变换刚度如下:

总之，根据该等效变换原理可以实现弹簧中Δ单元和γ单元之间的任意等效变换.

2 高速转子的轴向刚度分析

高速转子的轴向振动主要源自于:(1)定位角接触球轴承的沟道和滚动体等的加工波纹都会引起轴向预紧力波动，使得轴承组件中的各零部件作压缩-松弛交替变形，激发高速转子的轴向振动;这是本文的重点.(2)高速转子的悬臂支撑的因素使得两轴承处的径向支撑刚度不等，从而导致径向振动对轴向的耦合，即径向振动产生轴向的激振力，从而加剧轴向的振动.不过对于恒定转速的高速转子来说，这不是激振的重点，因此本文暂不予考虑.

2.1 零部件的刚度计算

构成轴承组件的各零部件几乎全是处于拉伸-压缩状态的圆筒状零件，其结构类型相对简单.在结构参数的基础上假设各筒状零件都是等截面圆筒.对于等截面圆筒在承受拉压力时产生的应力和应变的关系为:

其中，E为材料的弹性模量;L为该圆筒的长度.通过对式(6)变形可求得圆筒的轴向刚度为:

其中，d、D分别为该圆筒的内、外径.根据式(7)可求得轴承安装壳(shell)从图1中的O截面到两端面的轴向刚度分别为:

同理，外加载套筒(sleeve)的轴向刚度为:

内加载套筒的轴向刚度为:

高速主轴(shaft)从A端到根部C的轴向刚度为:

由于轮体包括轮缘、轮辐和轮毂三部分，而轮体的质心又主要取决于轮缘部分，它与轮辐构成端部带集中质量的悬臂梁.在此不妨假设轮体的轴向刚度为Kywh，同时假设缓冲弹簧的刚度为Kyspr以及轴承的轴向刚度Kδa.

2.2 高速转子系统的刚度集成

利用1节中的等效变换法，可见将高速转子的高速轴向刚度模型等效简化为图4所示形式.根据式(4)很容易得到框1内Δ-γ等效刚度为:

图4 等效模型的等效变换简化图

同理，可得到框2内Δ-γ等效刚度为:

则框3中O1点到O2点之间的刚度为:

则可将图4结构进一步简化为图5所示模型:

图5 等效结构图的进一步简化形式

事实上，简化成弹簧的零件是有质量的，系统中也是存在阻尼的，则根据结构参数可得到轴承组件的质量m2，并在等效结构图中加入阻尼项Cy1、Cy2.将系统最终简化为如图6所示的等效结构形式.其中两弹簧的刚度分别为:

图6 高速转子的质量-弹簧-阻尼等效图

3 激励与轴承加工波纹的关系分析

根据假设(1)可知系统满足线性叠加原理，故下面将在图4所示的等效模型的基础上，分析在A、B轴承的各零件的加工偏差的综合位移波动量δyA1和δyB1的分别激励下所引起的 O1点的振动位移.

3.1 δyA1引起的O1点的振动位移分析

A1O1B1C2O2路线的刚度为 KA11，满足串联关系:

A1A2O2路线的刚度为KA12，其满足串联关系:

A1点到固定点B2的刚度为KA1B2，其满足关系:

显然有:KA1B2δyA1=FyA1;则O2点的位移为:

则O1点的位移为:

3.2 δyB1引起的O1点的振动位移分析

B1O1A1A2O2路线的刚度为 KB11，其满足串联关系:

B1C2O2路线的刚度为KB12，其满足串联关系:

则B1点到固定点B2的刚度为KB1B2，其满足关系:

显然有:KB1B2δyB1=FyB1;则O2点的位移为:;则O1点的位移为:

3.3 δyA1和 δyB1共同作用引起 O1点总振动位移分析

轴承的加工偏差将使得轴承组件以如下谐波函数形式进行拉伸-压缩振动，从而引起O1点振动:

4 轴向振源分析

目前某型号SGCMG中使用的P4级轴承沟道的圆度大都在0.5μm左右.而对刚度在10N/μm量级的预紧轴承组件来讲，其沟道偏差所产生的预紧力的波动量达到5N左右.对于接触角为15°的角接触球轴承来说，该波动量在轴向的分量与之处于同一个量级.因此轴承加工偏差所激发轴向预紧力波动是激发轴向振动的主要原因.再根据轴承的结构关系，可以确定旋转轴承所激发的频率成分.

4.1 轴承的加工偏差分析

检测的某一批轴承沟道的外形示意图如图7所示情形.从中可明显看出:轴承沟道都存在明显的一、二、三、四等低次谐波.在高速转子运转过程中，轴承零件滚动表面(包括内圈沟道、外圈沟道、滚动体表面和保持器的兜孔等)的加工偏差随之旋转，成为以2π为周期的周期函数.因此可以将这些加工偏差展开成Fourier级数:

Ej=，其中 j∈｛内圈沟道，外圈沟道，滚动体，保持器｝.

4.2 轴承的加工偏差产生的激励频率成分

在小型SGCMG的高速转子中，轴承内圈静止，转速ni=0，外圈旋转，转速 ne=n r/min.而其中正在使用的某轴承的参数如表1所示:

图7 轴承沟道加工偏差示意图

表1 轴承参数表

根据角接触球轴承的结构形式可确定旋转轴承将会激励如下一些倍频成分［7］:保持器旋转频率:λ1=0.59，滚动体自转频率:λ2=2.36，滚动体通过轴承内外圈的频率分别为:λ3=6.6，λ4=4.4.这些倍频的激振作用于高速转子轴向，激发其轴向振动.

4.3 轴承的加工偏差产生的轴向激励描述

假设所有的加工偏差所激发的预紧力波动量互相调幅.并结合4.1和4.2的内容可得到A轴承的加工偏差产生的预紧力波动量(在考虑量纲为力F以及滤除其中的直流分量后)可表示为:

其中，λi∈｛1，λ1，λ2，λ3，λ4｝ =Λ，nΛ表示集合Λ中元素个数.KPLA为轴承的轴向预紧刚度;σA为与接触角等因素相关的修正系数.Ω为高速转子的转速，

同理，B轴承的加工偏差产生的预紧力的波动量可表示为:

Sλim、 αλinβλim和 ρA、ρB等是与轴承加工波纹相关的系数.由于转子系统振幅是转子转速的二次函数［3-4］，则对于该线性系统来说，轴承加工波纹所产生的轴向预紧力波动量为:

激励力的幅值和相位在很大程度上取决于轴承的加工精度、预紧力和转速.可通过试验数据辨识其中的参数.尤其是其中的幅值可以通过频谱辨识.甚至可以将其中的参数与轴承的加工偏差(比如轴承的圆度、波纹度、表面粗糙度等)直接对应.

5 轴向振动的动力学建模

针对图6建立高速转子的轴向动力学模型如下:

由此可计算预紧轴承的加工波纹所激发的高速转子质心处的轴向振动位移y1及基座上受到的振动力FyST()t=Ky2y2+cy2˙y2.由于方程右边的激励形式较为复杂，本文采用ODE45求数值解.

6 仿真与实验验证

下面通过数值仿真与试验结果的对比来验证分析的合理性和模型的有效性.

6.1 数值仿真

某型悬臂式SGCMG的部分结构参数如表2所示，经模态试验和轴承的刚度试验等计算得到其余零件的轴向刚度如表3所示.

经过计算可以得到图6中的两刚度分别为:Ky1≈1.4×107N/m，Ky2≈4.6×107N/m;A、B两轴承的加工偏差对O1点振动位移的贡献系数分别为:μA1O1≈0.996，μB1O1≈1.000.

根据结构参数可近似取轮体的质量及安装壳的部分质量之和 m1≈4kg;轴承组件其余的总质量m2≈3kg.经模态试验可大致估计高速转子系统的轴向阻尼比为:ζ1=0.1、ζ2=0.1.则采用龙格库塔法进行数值仿真，可得到高速转子的轴向振动瀑布图如图8所示.其中上图为高速转子质心处的振动位移;下图为高速转子基座上输出的波动力.它们在垂直方向的坐标范围为:［0，3×10-7］ m和［0，3］ N.

表2 高速主轴的结构参数

表3 高速转子中部分零部件的刚度

图8 仿真所得轴向振动瀑布图

6.2 试验及结果

利用Kistler9256CQ多分量测力台及配套的信号调理等仪器和OROS的8通道数据采集设备OR35在精密隔振光学平台上对某型SGCMG高速转子进行微振动测试.测得轴向振动力的瀑布图如图9所示.其中横、纵、铅直坐标的范围分别为:［0，600］ Hz，［0，6000］ r/m in，［0，12］ N.

6.3 仿真和实测结果对比分析

1)基座上的振动力幅值在10N量级，而高速转子各零部件的刚度及系统的集成刚度都大于107N/m，根据胡克定律可估计各个零部件的变形都不大于微米量级，因此它们都处在所用材料的线弹性范围内，故系统的轴向振动整体上表现为线性占主导.

2)仿真图中从原点发出的放射线与测试结果中的放射线相吻合，覆盖了测试图中表现出来的几乎所有的频率成分，这在一定程度上证明轴向激振的频率成分来源于预紧轴承的加工波纹.同时也表明“预紧轴承的加工波纹所激发的振动在数学上表现为相互调幅”的形式是有效的.

3)从测试图9中可见，轴向振动力的低速响应比模型仿真中的响应要大，这主要是因为高速转子的径向模态频率曲线、轴向的一阶模态频率曲线和轴承的加工波纹所产生低次倍频激励三者相交于图9和图10中的A点(270Hz);同时，由于悬臂式的不等刚度支撑的转子系统的径向和轴向振动耦合(即:2节中的第(2)振源:径向振动对轴向的耦合)，从而导致该处的微小激励却引起径向振动和轴向振动在一定范围内循环放大.下面给出径向振动的一项测试结果，从对比中可以显见三线相交于A点以及径向和轴向振动耦合的存在.

图9 试验测得的轴向振动力瀑布图

图10 高速转子径向振动力瀑布图

4)仿真图和实测图在幅值以及模态频率的大小上还存在一定的差异，这可能是因为仿真中的参数取得与实际情况有一定差别，尤其是由预紧轴承的加工波纹所产生的激励力的幅值和相位以及模型中的质量难以准确得到，这还需要后续的参数辨识.

5)测试图和仿真图中都表明:在模态频率处的响应尖峰突出，因此减小高速转子轴向振动的更有效的办法是增加轴向阻尼.事实上，缓冲弹簧的刚度比轮体和预紧轴承等的轴向刚度都要大1个量级，其缓冲作用有限.

7 结 论

通过对SGCMG高速转子轴向振动特性的分析可得到如下一些结论:

1)Δ-γ角等效变换有效解决了轴向刚度的计算难题，为建立准确的轴向动力学模型奠定了基础.

2)预紧轴承的加工波纹导致了轴向预紧力的波动，进而激发高速转子的轴向振动.而且由轴承的众多零部件的加工波纹所产生的激振力在数学上表现为相互调幅.

3)所建立的动力学模型(二阶线性非齐次微分方程组)基本反映了高速转子这一分布式系统的轴向低阶模态，因此可以近似描述高速转子的轴向振动.

［1］ 刘天雄、范本尧、杨慧.卫星飞轮扰振控制技术研究［J］.航天器工程，2009， 18(1):53-60

［2］ 庞世伟、杨雷、曲广吉.高精度航天器微振动建模与评估技术最近进展［J］.强度与环境，2007，34(6):1-9

［3］ Masterson R A，Miller DW，Grogan R L.Development and validation of reaction wheel disturbance models:empiricalmodel［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，249(2):575-598.

［4］ Masterson，Rebecca A，Miller D，et al.Development of empirical and analytical reaction wheel disturbancemodels［R］.AIAA 99-1204

［5］ 邓瑞清，虎刚，王全武.飞轮和控制力矩陀螺高速转子轴向干扰特性的研究［J］.航天控制，2009，27(4):32-36

［6］ 陈芳华，张亚军，李兴林.滚动轴承振动速度的评估［J］.轴承，2000，12:16-21

［7］ 刘泽九，贺士荃，刘晖.滚动轴承应用［M］.北京:机械工业出版社，2007

Axial Vibration Analysis and Validity of High-Speed Rotor of Cantilever SGCMG Based on a Triangle-Star Equivalent Transform ation

LUO Ruizhi1，2，HU Gang3，WANG Quanwu1
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China;3.China GreatWall Industry Corporation， Beijing 100095，China)

Cantilever single gimbal control moment gyroscope(SGCMG)excites severe axial vibration which includes some complex frequency components.Because the SGCMG structure consists ofmany elastic members with series and parallel， even bridging connection， it is very difficult to directly establish its accurate axial dynamicsmodel.Firstly，the axial connection between components of high-speed rotor is simp lified by using themethod of equivalent transformation between the triangle and the star;thus，the axial stiffness of the rotor is calculated simply.Secondly，the exciting source for high-speed rotor vibration with the form of cross-amp litudemodulation was analyzed which derives from preloading bearing processing error.Third ly， the high-speed axial rotor axial dynam ics equations were established.Finally， validity of themodel is verified by comparing results of the numerical simulation based on themodel and the experimental test for cantilever SGCMG.

triangle-star equivalent transformation;bearing processing error;high-speed rotor;axial vibration;dynamicsmodeling

V4

A

1674-1579(2011)02-0014-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.02.003

2011-02-10

罗睿智(1982-)，男，四川人，硕士研究生，研究方向为惯性执行机构的振动分析与振动控制技术(e-mail:rzllrz@163.com).